In questo articolo spiegheremo come determinare in quali intervalli una funzione è crescente e in quali è decrescente, utilizzando delle condizioni necessarie ma anche sufficienti.
Funzioni crescenti e decrescenti
Per prima cosa, definiamo quando una funzione si dice crescente o descrescente in un punto:
Una funzione $f:X\rightarrow\mathbb R$, con $X\subseteq\mathbb R$ si dice crescente in un punto $x_0\in X$, se esiste un intorno di tale punto $I(x_0)\subseteq X$ tale che:
- $f(x) < f(x_0)$ per qualunque $x$ appartenente all'intorno sinistro $I_-(x_0)$
- $f(x) > f(x_0)$ per qualunque $x$ appartenente all'intorno destro $I_+(x_0)$
Analogamente si dice decrescente in un punto $x_0\in X$, se esiste un intorno di tale punto $I(x_0)\subseteq X$ tale che:
- $f(x) > f(x_0)$ per qualunque $x$ appartenente all'intorno sinistro $I_-(x_0)$
- $f(x) < f(x_0)$ per qualunque $x$ appartenente all'intorno destro $I_+(x_0)$
Diamo adesso la definizione di funzione crescente o decrescente in un intervallo.
Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ una funzione e siano $x_1,x_2\in (a,b)$. Si dice che $f$ in $(a,b)$ è:
- CRESCENTE $\mbox{ se per}\quad x_1 < x_2\in (a,b)\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
- NON DECRESCENTE $\mbox{ se per}\quad x_1 < x_2\in (a,b)\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$
- DECRESCENTE $\mbox{ se per}\quad x_1 < x_2\in (a,b)\Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
- NON CRESCENTE $\mbox{ se per}\quad x_1 < x_2\in (a,b)\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$
Osservazione
Una funzione non deve essere necessariamente continua in $x_0$ per essere ivi crescente o decrescente.
Condizioni sufficienti per la crescenza o la decrescenza in un punto
In questo paragrafo diamo delle condizioni sufficienti affinchè una funzione risulti crescente o decrescente in un punto.
Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ una funzione derivabile in un punto $x_0\ (a,b)$. Si ha:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{f'(x_0)>0\quad\Rightarrow\quad f\mbox{ crescente in } x_0}$$ $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{f'(x_0)<0\quad\Rightarrow\quad f\mbox{ decrescente in } x_0}$$
Osservazione 1 sulla C.S.
L'ipotesi di derivabilità non è un'ipotesi necessaria affinchè una funzione sia crescente o decrescente.
Infatti esistono funzioni continue, crescenti ma non derivabili in $x_0$. Questo è il caso della funzione
$$f(x)=\begin{cases} x & \mbox{se } x\ge 0\\ 2x & \mbox{se } x < 0\end{cases}$$Dal grafico possiamo vedere che la funzione non è derivabile in $x_0=0$ ma ivi continua e crescente.
Osservazione 2 sulla C.S.
La condizione data è sufficiente ma non necessaria, nel senso che non vale il viceversa del teorema.
Infatti esistono funzioni crescenti e derivabili in $x_0$ con $f'(x_0)=0\not >0$. Ad esempio la parabola semicubica
$$f(x)=x^3$$nel punto $x_0=0$ è derivabile e la sua derivata vale $0$
Tuttavia, la condizione sufficiente, diventa necessaria se includiamo pure lo zero come valore della derivata.
Condizioni necessarie per la crescenza o decrescenza in un punto
Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ una funzione derivabile in un punto $x_0\ (a,b)$. Si ha:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{f\mbox{ crescente in } x_0\quad\Rightarrow\quad f'(x_0)\ge 0}$$ $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{f\mbox{ decrescente in } x_0\quad\Rightarrow\quad f'(x_0)\le 0}$$
Determinazione della monotonia di una funzione
Vediamo un esempio pratico su come determinare gli intervalli in cui una data funzione è crescente oppure decrescente.
Esempio
Determinare in quali intervalli la funzione $$f(x)=\log\frac{1}{x^2-1}$$ è crescente oppure decrescente
Innanzitutto determiniamo il campo di esistenza della funzione:
$$\frac{1}{x^2-1}>0\quad\Rightarrow\quad x^2-1 \quad\Rightarrow\quad x<-1\ \vee x>1$$
Adesso calcoliamo la derivata prima della funzione e la poniamo maggiore di 0:
$$f'(x)=\frac{1}{\frac{1}{x^2-1}}\cdot \left(-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\right)=-\frac{2x(x^2-1)}{(x^2-1)^2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad -2x>0 \quad\Rightarrow\quad x < 0$$
Dato che $x^2-1>0\ \forall x\in C.E.$.
Per finire mettiamo a sistema il C.E. con il segno della derivata prima trovato:
$$\begin{cases} x<-1\ \vee x>1\\ x < 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad x < -1$$
Possiamo graficare il segno della derivata prima, notando che la funzione risulta crescente in $]-\infty, -1[$ e decrescente in $]-1,+\infty[$.
