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Calcolo delle derivate

La teoria dell'analisi matematica ci dice che, a norma di definizione, il calcolo della derivata di una funzione equivale al calcolo del limite del rapporto incrementale. Nella pratica però tale limite può essere tutt'altro che semplice da risolvere, rischiando di impelagarsi in calcoli lunghi e difficili. Per fortuna i matematici hanno facilitato la vita di molti studenti mettendo a disposizione delle regole pratiche per il calcolo delle derivate. Qui sotto ti fornisco un formulario con le regole delle derivate di tutti i tipi di funzioni. 

Regole per il calcolo di derivate di funzioni elementari

La funzione più facile da derivare è la funzione costante. Infatti, la derivata di una costante vale zero.

$$f(x)=k,\ k\in\mathbb{R}\quad\rightarrow\quad f'(x)=0$$

 

Esempi

$\begin{array}{l}
f(x)=5 \quad\rightarrow\quad f'(x)=0\\
f(x)=-3 \quad\rightarrow\quad f'(x)=0\\
f(x)=\sqrt{7} \quad\rightarrow\quad f'(x)=0\\
f(x)=\log{3} \quad\rightarrow\quad f'(x)=0\\
f(x)=2^{11} \quad\rightarrow\quad f'(x)=0\end{array}$

Di seguito invece ti mostro come calcolare le derivate di funzioni elementari, ossia funzioni in cui compare l'incognita $x$ come argomento, base o esponente.

 

Derivata della funzione potenza

$$f(x)=x^n,\ n\neq 1\quad\rightarrow\quad f'(x)=n\cdot x^{n-1}$$

 

Esempi

$\begin{array}{l}
f(x)= x \quad\rightarrow\quad f'(x)=1\\
f(x)= x^3 \quad\rightarrow\quad f'(x)=3x^2\\
f(x)= x^{-1} \quad\rightarrow\quad f'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\cfrac{1}{x^2}\\
f(x) = \sqrt[3]{x}=x^{1/3} \quad\rightarrow\quad f'(x)=\cfrac{1}{3}x^{1/3-1}=\cfrac{1}{3}x^{-2/3}=\cfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\end{array}$

 

Derivata della funzione radice quadrata

$$f(x)=\sqrt{x}\quad\rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

 

Derivata della funzione logaritmica

$$\begin{array}{l}
f(x)=\ln x\quad\rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{x}\\
f(x)=\log_a x\quad\rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{x\ln a}\end{array}$$

 

Derivata della funzione esponenziale

$$\begin{array}{l}
f(x)=e^x\quad\rightarrow\quad f'(x)=e^x\\
f(x)=a^x\quad\rightarrow\quad f'(x)=a^x\cdot\ln{a}\end{array}$$

 

Derivate delle funzioni goniometriche

$$\begin{array}{l}
f(x)=\sin x\quad\rightarrow\quad f'(x)=\cos x\\
f(x)=\cos x\quad\rightarrow\quad f'(x)=-\sin x\\
f(x)=\tan x\quad\rightarrow\quad f'(x)=\cfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\\
f(x)=\cot x\quad\rightarrow\quad f'(x)=-\cfrac{1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x)\end{array}$$

 

Derivate delle funzioni goniometriche inverse

$$\begin{array}{l}
f(x)=\arcsin x\quad\rightarrow\quad f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x-1}}\\
f(x)=\arccos x\quad\rightarrow\quad f'(x)=-\cfrac{1}{\sqrt{x-1}}\\
f(x)=\arctan x\quad\rightarrow\quad f'(x)=\cfrac{1}{1+x^2}\\
f(x)=arc\cot x\quad\rightarrow\quad f'(x)=-\cfrac{1}{1+x^2}\end{array}$$

Accanto a queste formule di derivazione ce ne stanno altre che si utilizzano quando l'argomento, l'esponente o la base della funzione non è semplicemente $x$. Sto parlando delle regole di derivazione di funzioni composte come, ad esempio, $(x+2)^2$, $\sqrt{x^2-x}$, $\ln(x^3)$, ecc. Imparare le derivate di funzioni composte è facile se si parte dalle regole di derivazione di funzioni elementari. Infatti, basta avere in mente queste e applicare la cosiddetta regola della catena, derivando cioè a partire dalla funzione più esterna fino ad arrivare a quella più interna. Qui di seguito ti ho schematizzato il tutto in una tabella riassuntiva delle derivate.

 Tabella delle derivate

 

A questo punto ho una cattiva notizia per te: le regole sulle derivate non finisco qui :( ! Ma come? Queste non bastavano? Eh purtroppo no! E ti spiego il perché. Se dovessi derivare la somma, il prodotto o il rapporto tra due funzioni come faresti con le sole regole che ti ho dato finora? Ad esempio, come faresti la derivata di $x^2\cdot \ln x$. Puoi sicuramente derivare le due funzioni separatamente con le regole suddette ma non il loro prodotto! Allora è chiaro che hai anche bisogno di conoscere l'algebra delle derivate.


Regole di derivazione

Derivata di una costante per una funzione
$$D[k\cdot f(x)]=k\cdot f'(x)$$

Esempio

$D[3\cdot x^2]=3\cdot D(x^2)=3\cdot 2x=6x$

Si ricopia la costante e si deriva la parte contenente la $x$.

 

Derivata della somma di funzioni
$$D[f(x)+g(x)+h(x)]=f'(x)+g'(x)+h'(x)$$

Esempio

$D[x^2+\ln x-\sqrt{x}]=2x+\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

In pratica basta derivare le singole funzioni separatamente e sommarle con il proprio segno.

 

Derivata del prodotto
$$D[f(x)\cdot g(x)]=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

Esempio

$D[x^2\cdot\ln x]=D(x^2)\cdot\ln x +x^2\cdot D(\ln x)=2x\cdot\ln x+x^2\cdot\cfrac{1}{x}$

Si derivano a turno le due funzioni. Questa regola si può generalizzare al caso di più di due funzioni avendo così tanti addenti quante sono le funzioni a moltiplicare.

 

Derivata del quoziente
$$D\left[\cfrac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Esempio

$D\left[\cfrac{e^x}{x^2}\right]=\cfrac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}$

Trucco per ricordare la regola: il numeratore è come la derivata di un prodotto ma con il segno meno in mezzo, il denominatore invece si eleva al quadrato.

 

Derivata di una funzione composta esponenziale
$$D[[f(x)]^{g(x)}]=[f(x)]^{g(x)}\left[g'(x)\ln f(x)+\cfrac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right]$$

Esempio

$D[x^x]=x^x\left(1\cdot\ln x+\cfrac{x\cdot 1}{x}\right)$

 

Derivata di una funzione inversa
Sia $f$ una funzione continua e strettamente monotona. Se $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x_0)\neq 0$, allora $f^{-1}$ è derivabile e vale la formula:
$$D[f^{-1}(y_0)]=\frac{1}{f'(x_0)},\quad y_0=f(x_0)$$

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