É possibile scrivere i radicali in una forma diversa, che permette di estendere il concetto di potenza al caso in cui l'esponente è un frazione.
Potenza con esponente razionale: La potenza con esponente frazionario $\frac{m}{n}$ di un numero reale a, positivo o nullo, è la radice aritmentica n-esima di $a^m$.
$$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\quad (a\ge 0)$$
Esempio
Esempi di calcolo di potenze con esponente frazionario.
- $1^{frac{1}{4}}=\sqrt[4]{1}=1$.
- $0^{\frac{3}{2}}=\sqrt{0^3}=0$.
- $5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}$.
- $2^{-\frac{4}{5}}=\sqrt[5]{2^{-4}}=\sqrt[5]{\left(\frac{1}{2}\right)^4}=\sqrt[5]{\frac{1}{16}}$.
- La scrittura $(-4)^{\frac{1}{2}}$ non ha significato, perchè nella definizione sono escluse le potenze di numeri negativi.
Per le potenze con esponente razionale valgono le proprietà delle potenze con esponente intero.
Nelle espressioni irrazionali, invece di operare con i radicali, possiamo operare con le potenze.