Moltiplicazione e divisione fra radicali
Si possono moltiplicare due o più Radicali aritmetici se questi hanno lo stesso indice. Vale infatti il seguente teorema.
Teorema del prodotto: il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi, ossia
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}}$$
con a e b reali, $a\ge 0$, $b\ge 0$ e n naturale, $n\neq 0$.
In particolare, il prodotto di un radicale quadratico per se stesso ha come risultato il radicando.
Moltiplicazione tra radicali con lo stesso indice
- $\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{2\cdot 5}=\sqrt[4]{10}$
- $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3^2}=3$
Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli è necessario ridurli al loro minimo comune indice.
Moltiplicazione tra radicali con indice diverso
- $\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{2^3\cdot 5^2}=\sqrt[6]{8\cdot 25}=\sqrt[6]{200}$
- $\sqrt[5]{a}\cdot\sqrt[6]{a^2\cdot b}=\sqrt[30]{a^6}\cdot \sqrt[30]{(a^2\cdot b)^5}=\sqrt[30]{a^6\cdot a^{10}\cdot b^5}=\sqrt[30]{a^{16}\cdot b^5}$.
Il teorema del prodotto afferma pure che un radicale il cui radicando è scomposto in fattori non negativi è uguale al prodotto di più radicali con lo stesso indice che hanno per radicandi i diversi fattori
$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$
Questo ci permette di trasportare fuori dal segno di radice i fattori del radicando che hanno come esponente un multiplo di n.
Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice
- $\sqrt[3]{a^9\cdot b^2}=\sqrt[3]{a^9}\cdot \sqrt[3]{b^2}=a^3\cdot\sqrt[3]{b^2}$
- $\sqrt[3]{a^13}=\sqrt[3]{a^12\cdot a}=\sqrt[3]{a^12}\cdot\sqrt[3]{a}=a^4\cdot\sqrt[3]{a}$.
Quando si vuol portar fuori radice un fattore di cui non si conosce il segno, si scrive tale fattore in valore assoluto!
Trasporto di un fattore incognito fuori dal segno di radice
$\sqrt{2\cdot (a-b)^2}=|a-b|\cdot\sqrt{2}$
Divisione fra radicali
Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi.
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a: b}}$$
con a e b reali, $a\ge 0$, $b> 0$ e n naturale, $n\neq 0$.
Anche per le divisioni valgono le stesse considerazioni analoghe a quelle fatte per le moltiplicazioni.
Esempio di divisione fra radicali
- $\sqrt[5]{8}:\sqrt[5]{2}=\sqrt[5]{8:2}=\sqrt[5]{4}$
- $\sqrt[3]{a}:\sqrt[4]{b}=\sqrt[12]{a^4}:\sqrt[12]{b^3}=\sqrt[12]{\frac{a^4}{b^3}}$
La potenza e la radice di un radicale
La potenza m-esima di un radicale è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza m-esima del radicando, ossia
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}}$$
con n e m naturali, $n\neq 0$, $m\neq 0$ e a reale, $a\ge 0$.
Calcolo potenze di radicali
- $\left(\sqrt[5]{3}\right)^4=\sqrt[5]{3^4}=\sqrt[5]{81}$
- $\left(\sqrt[4]{a^3}\right)^5=\sqrt[4]{(a^3)^5}=\sqrt[4]{a^{15}}=a^3\cdot\sqrt[4]{a^3}.$
La radice m-esima di un radicale di indice n è un radicale che ha per indice il prodotto degli indici $m\cdot n$ e per radicando lo stesso radicando.
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}}$$
con n e m naturali, $n\neq 0$, $m\neq 0$ e a reale, $a\ge 0$.
Pertanto è possibile scambiare gli indici delle radici. Ciò può rendere più immediata la semplificazione di un radicale.
Calcolo radici di radicali
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^3}}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^3}}=\sqrt[4]{a}$Il trasporto di un fattore dentro il segno di radice
Dato il radicale $3\cdot\sqrt[4]{5}$, è possibile portare il fattore 3 sotto il segno di radice, tenendo presente che $3=\sqrt[4]{3^4}$:
$3\cdot\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{3^4}\cdot\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{3^4\cdot 5}$
In generale, se $a\ge 0$
$$a\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n\cdot b}$$
cioè per trasportare dentro radice un fattore non negativo occorre elevarlo all'indice del radicale.
Esempi su come entrare un fattore dentro radice
- $2\cdot\sqrt[3]{7}=\sqrt[3]{2^3\cdot 7}=\sqrt[3]{56}.$
- $3a^2\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{(3a^2)^3b}=\sqrt[3]{27a^6b}.$
Possiamo portare dentro radice $(3a^2)^3$, perchè è sempre $3a^2\ge 0$.
Osservazione: i fattori negativi non vengono portati dentro la radice; il segno meno resta fuori e viene portato dentro il valore assoluto:
$-3\sqrt{5}=-\sqrt{9\cdot 5}=-\sqrt{45}$.
Addizione e sottrazione di radicali
Non è sempre possibile semplificare espressioni che contengono somme di radicali.
- $\sqrt{4}+\sqrt{9}\neq\sqrt{4+9}!\quad \mbox{infatti}\quad \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5\neq\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
- $\sqrt{9}-\sqrt{4}\neq\sqrt{9-4}!\quad \mbox{infatti}\quad \sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1\neq\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
In generale, dunque:
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$$ $$\sqrt{a}-\sqrt{b}\neq\sqrt{a-b}$$
Però, date le due espressioni $2\cdot\sqrt{3}$ e $5\cdot\sqrt{3}$, (in analogia con quanto si farebbe con i monomi 2a e 5a, pensando $a=\sqrt{3}$) si può eseguire l'addizione o la sottrazione raccogliendo a fattore comune $\sqrt{3}$:
$\begin{array}{l} 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=\sqrt{3}(2+5)=7\sqrt{3}\\ 2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-3\sqrt{3}\end{array}$
Due radicali irriducibili si dicono simili quando hanno lo stesso indice, lo stesso radicando e possono essere diversi solo per il fattore che li moltiplica, detto coefficiente del radicale.
$9\cdot\sqrt[5]{2}$ e $7\cdot\sqrt[5]{2}$ sono simili, perchè i due radicali hanno lo stesso indice 5 e lo stesso radicando 2.
A volte due radicali possono essere trasformati in radicali simili portando fuori dalla radice alcuni fattori.
I radicali $b^2\cdot\sqrt{b^3}$ e $\sqrt{b^5}$ non sono simili. Portiamo fuori radice i fattori: $$\begin{array}{l} b^2\cdot\sqrt{b^3}=b^2\cdot b\cdot\sqrt{b}=b^3\sqrt{b}\\ \sqrt{b^5}=b^2\cdot\sqrt{b}\end{array}$$ I radicali ottenuti $b^3\sqrt{b}$ e $b^2\cdot\sqrt{b}$ sono simili.
La somma algebrica di due o più radicali simili è un radicale, simele ai dati, che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.
Esempi sulle somme algebriche di radicali
- $4\sqrt[3]{a}+2\sqrt[3]{a}=5\sqrt[3]{a}.$
- $a\sqrt{2}+\sqrt{2}=(a+1)\sqrt{2}.$
