I radicali aritmetici

Consideriamo l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato, ossia la radice quadrata.

La radice quadrata aritmetica di un numero razionale positivo o nullo è quel numero , positivo o nullo, che, elevato al quadrato, dà come risultato il numero dato.

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt{a}=b\quad\mbox{se}\quad a=b^2\quad\quad (a\ge 0,\ b\ge 0)}$$

La radice quadrata si indica con il simbolo $\sqrt{}$

L'operazione di radice non è una operazione interna in $\mathbb Q$. Per esempio, 2 non ha per radice quadrata un numero razionale (cioè $\sqrt{2}$ non è un numero razionale e quindi $\sqrt{2}\not\in\mathbb Q$).

Da qui l'esigenza di ampliare l'insieme dei numeri razionali $\mathbb Q$ all'insieme dei numeri reali $\mathbb R$.

Chiamiamo numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non periodico.

Chiamiamo numero reale ogni numero razionale o irrazionale.

In sostanza, per ampliare l'insieme dei numeri razionali, consideriamo un nuovo insieme, quello dei numeri reali, che è l'unione dell'insieme dei numeri razionali e di quello degli irrazionali come si può vedere dall'immagine seguente.

Abbiamo visto che la radice quadrata è l'inversa della potenza con esponente 2. Allo stesso modo possiamo parlare di radice cubica come operazione inversa della potenza con esponente 3, e così via. In generale, la radice n-esima (leggi "ennesima") è l'operazione inversa della potenza di esponente n.

Dato un numero naturale $n\neq 0$ e un numero reale a, positivo o nullo, la radice aritmetica n-esima di a è quel numero reale b, positivo o nullo, la cui potenza con esponente n è uguale ad a.

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{a}=b\quad\Leftrightarrow\quad a=b^n\quad\quad (a\ge 0,\ b\ge 0)}$$

Proprietà dei radicali

Per ogni n,m naturale diverso da 0 e per ogni a e b reali non negativi, valgono le seguenti proprietà

1. $\sqrt[1]{a}=a$ (infatti $a^1=a$)
2. $\sqrt[n]{0}=0$ (infatti $0^n=0$)
3. $\sqrt[n]{1}=1$ (infatti $1^n=1$)
4. $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=\sqrt[n]{a^n}=a$
5. $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$
6. $\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}\quad b\neq 0$
7. $\sqrt[0]{a}$ non ha significato.

Terminologia sui radicali aritmetici

Il simbolo $\sqrt[n]{a}$ viene chiamato radicale aritmetico, o semplicemente, radicale.

Il numero n viene detto indice del radicale, il numero a si chiama radicando. Se il radicando è scritto sotto forma di potenza, l'esponente di tale potenza si chiama esponente del radicando.

Proprietà invariantiva dei radicali

Dati due numeri reali a e b, non negativi, e un numero naturale n diverso da 0, se a e b sono uguali, sono uguali anche le loro potenze n-esime e viceversa.

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a=b\quad\Leftrightarrow\quad a^n=b^n\quad\quad (a\ge 0,\ b\ge 0\ n\neq 0)}$$

Enunciamo adesso la proprietà invariantiva:

Dato un radicale aritmetico, si può ottenere un radicale equivalente moltiplicando per uno stesso numero naturale (diverso da 0) sia l'indice del radicale sia l'esponente del radicando.

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}}$$

La semplificazione di radicali

Per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza, possiamo anche scrivere:

$\sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}=\sqrt[n]{a^m}$

Dato cioè un radicale aritmetico, si ottiene un radicale equivalente dividendo l'indice della radice e l'esponente del radicando per un divisore comune.

In questo caso si dice che si è semplificato il radicale.

Non è sempre possibile semplificare un radicale. Per esempio, il radicale $\sqrt[5]{a^2}$ non si può semplificare, perchè 5 e 2 non hanno divisori comuni, tranne l'unità.

Un radicale si dice irriducibile (cioè non semplificabile) quando il suo indice e l'esponente del radicando sono primi fra loro.

Per semplificare un radicale e renderlo irriducibile, occorre:

1. cercare il M.C.D. fra indice ed esponente del radicando;
2. dividere l'indice e l'esponente per il loro M.C.D.

1. M.C.D.(20,12)=4;
2. dividiamo per 4 l'indice e l'esponente del radicando: $$\sqrt[20]{7^{12}}=\sqrt[20:4]{7^{12:4}}=\sqrt[5]{7^3}$$

1. M.C.D.(6,4)=2;
2. dividiamo per 2 indice ed esponente del radicando: $$\sqrt[6]{(ab^2)^4}=\sqrt[6:2]{(ab^2)^{4:2}}=\sqrt[3]{(ab^2)^2}=\sqrt[3]{a^2b^4}$$

La semplificazione e il valore assoluto

Per semplificare il radicale aritmetico $\sqrt[8]{(-5)^{12}}$ non possiamo scrivere

$\sqrt[8]{(-5)^{12}}=\sqrt[2\cdot 4]{(-5)^{3\cdot 4}}=\sqrt[2]{(-5)^{3}}$

perchè $(-5)^3$ è negativo, perciò l'espressione ottenuta non è un radicale aritmetico.

Tuttavia la semplificazione è possibile perchè l'esponente del radicando è pari e quindi possiamo considerare -5 in valore assoluto.

$\sqrt[2\cdot 4]{(-5)^{3\cdot 4}}=\sqrt[2\cdot 4]{|-5|^{3\cdot 4}}=\sqrt[2]{|-5|^{3}}$

In generale, risulta:

$$\sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}=\sqrt[n]{|a|^m}\quad\mbox{se}\ a<0\ \ \mbox{e}\ \ m\cdot p\ \ \mbox{è pari}$$

La riduzione di radicali allo stesso indice

Applicando la proprietà invariantiva, si possono trasformare due o più radicali in altri che hanno lo stesso indice. In particolare si può ridurli a radicali che abbiano il minimo comune indice.

I passaggi necessari sono 2:

1. cercare il m.c.m. fra gli indici;
2. trasformare ogni radicale in uno equivalente, che ha per indice il m.c.m. trovato.

Risolviamo la 1):

1. m.c.m.(5,4)=20;
2. eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l'indice; nel nostro caso, 20:5=4 e 20:4=5. $$\begin{array}{l} \sqrt[5]{2a^2}=\sqrt[5\cdot 4]{(2a^2)^4}=\sqrt[20]{16a^8}\\ \sqrt[4]{a^3}=\sqrt[4\cdot 5]{(a^3)^5}=\sqrt[20]{a^{15}}\end{array}.$$

Risolviamo la 2):

1. m.c.m.(3,6)=6;
2. $$\begin{array}{l} \sqrt[3]{a-1}=\sqrt[3\cdot 2]{(a-1)^2}=\sqrt[6]{a^2-2a+1}\\ \sqrt[6]{a^2-1}\quad\mbox{è già ridotto}\end{array}.$$