Un'equazione è fratta se contiene l'incognita in almeno un denominatore. Un'equazione fratta è numerica se tutti i coefficienti sono numerici, è letterale se almeno un coefficiente contiene una o più lettere.
Esempio di equazioni fratte numeriche e letterali
Le equazioni $$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}\quad\mbox{e}\quad 3+\frac{2x}{x+1}=0$$ sono numeriche fratte. L'equazione $$\frac{a}{x}+\frac{1}{a}=1$$ è letterale fratta.
Qui ci limitiamo ad esaminare la soluzione delle equazioni fratte numeriche. Negli Esercizi troverai anche esempi relativi alle equazioni fratte letterali.
Prima di risolvere un'equazione numerica fratta, dobbiamo determinare le condizione di esistenza delle frazioni algebriche presenti. Poi possiamo procedere alla risoluzione applicando i principi di equivalenza. La soluzione trovata sarà accettabile solo se rispetta le condizione di esistenza.
Esempio di risoluzione di un'equazione numerica fratta
Risolviamo l'equazione $$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}$$
Le due frazioni algebriche, a primo e secondo membro, hanno significato solo se $$x-1\neq 0,\quad\mbox{ossia}\quad x\neq 1$$
Quindi C.E.: $x\neq 1$
Moltiplichiamo entrambi i membri per l'espressione $x-1$ ottenendo così la soluzione $$x=1$$
È ora necessario fare il controllo della soluzione: poichè la soluzione $x=1$ è incompatibile con le C.E. $x\neq 1$, la soluzione non può essere accettata. In questo caso l'equazione è impossibile.
In sintesi, per risolvere un'equazione numerica fratta dobbiamo:
- determinare le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche presenti;
- portare tutte le frazioni algebriche a denominatore comune;
- moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per tale denominatore, in modo da ottenere un'equazione intera;
- calcolare le soluzioni dell'equazione intera;
- controllare che tali soluzioni siano accettabili cioè che rispettino le C.E.; in caso affermativo, esse sono le soluzioni dell'equazione fratta