Dato un triangolo rettangolo $ABC$, i valori dei cateti possono venir determinati mediante la misure dell'angolo acuto $\beta$ e dell'ipotenusa $c$.
Infatti, si hanno i seguenti teoremi:
- In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto al cateto. $$b=c\sin\beta$$
- In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa moltiplicata per il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto. $$a=c\cos\beta$$
- In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'altro cateto moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al primo. $$b=a\tan\beta$$
- In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'altro cateto moltiplicata per la cotangente dell'angolo acuto adiacente al primo. $$a=b\cot\beta$$
Ovviamente, da queste, possiamo facilmente ricavarci le formule inverse per determinare ad esempio l'ipotenusa o uno dei due angoli $\beta$ e $\gamma$.
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Risolvere un triangolo significa, noti tre dei suoi elementi di cui almeno uno sia un lato, trovare gli altri tre.
Per un triangolo rettangolo, del quale è sempre noto un angolo (quello retto), si possono presentare le quattro seguenti diverse situazioni:
- sono note la misura dell'ipotenusa e l'ampiezza di un angolo acuto;
- sono note la misura di un cateto e l'ampiezza di un angolo acuto;
- sono note le misure dell'ipotenusa e di un cateto;
- sono note le misure dei due cateti.
Facciamo alcuni esempi:
Esempio
Risoluzione triangolo rettangolo noti l'ipotenusa e un angolo acuto.
In un triangolo rettangolo la misura dell'ipotenusa è $c=12cm$ e l'angolo acuto $\beta$ è ampio $30^\circ$. Risolvere il triangolo.
Riferendoci alla figura in alto e ai teoremi enunciati sopra, possiamo ricavarci le misure dei cateti $a$ e $b$:
$\begin{array}{l} b=c\sin\beta=12\sin 30^\circ=12\frac{1}{2}=6cm\\ a=c\cos\beta=12\cos 30^\circ=12\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}cm=10,3923cm\end{array}$
L'angolo acuto $\gamma$ è poi uguale a:
$\gamma=90^\circ-\beta=90^\circ-30^\circ=60^\circ$
Esempio
Risoluzione triangolo rettangolo noti un cateto e un angolo acuto
In un triangolo rettangolo un cateto misura $10dm$ e l'angolo ad esso opposto $60^\circ$. Risolvere il triangolo.
Riferendoci ancora alla figura in alto e indicando con $b$ e $\beta$ rispettivamente la misura nota del cateto e l'ampiezza dell'angolo a esso opposto avremo:
$\begin{array}{l} \gamma=90^\circ-\beta=90^\circ-60^\circ=30^\circ\\ a=b\tan\gamma=10\tan 30^\circ=10\frac{\sqrt{3}}{3}dm=5,7735dm\\ c=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{10}{\sin 60^\circ}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=10\frac{2}{\sqrt{3}}=20\sqrt{3}dm=34,6410dm\end{array}$
L'angolo acuto $\gamma$ è poi uguale a:
Esempio
Risoluzione triangolo rettangolo noti l'ipotenusa e un cateto
Risolvere il triangolo rettangolo avente l'potenusa $c=16cm$ e il cateto $b=8cm$.
Dai teoremi relativi al triangolo rettangolo si ottiene:
$\begin{array}{l} \sin\beta=\frac{b}{c}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \beta=\arcsin\frac{1}{2}=30^\circ\\ a=c\cos\beta=16\cos 30^\circ=16\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}cm=13,8564cm\end{array}$
Esempio
Risoluzione triangolo rettangolo noti i due cateti
Risolvere il triangolo rettangolo avente i cateti che misurano $b=6\sqrt{3}cm$ e $a=18cm$.
Applicando i teoremi relativi al triangolo rettangolo si ottiene:
$\begin{array}{l} c=\sqrt{b^2+a^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+18^2}=\sqrt{432}=20,7846cm\\ \tan\beta=\frac{b}{a}=\frac{6\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad \beta=\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}=30^\circ\\ \gamma=90^\circ-\beta=90^\circ-30^\circ=60^\circ\end{array}$