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T test per dati indipendenti

Facciamo riferimento all'esercizio sul test dei dati appaiati, immaginando stavolta che i due sonniferi siano stati assegnati casualmente ai pazienti arruolati nello studio generando due gruppi distinti (indipendenti) di soggetti, il gruppo A e il gruppo B.

Test di ipotesi per la differenza tra due medie con varianza nota

Le ipotesi fondamentali da assumere per eseguire il test sono:

  • Le variabili risposta $Y_A$ e $Y_B$ rispettivamente del gruppo A e B sono variabili con distribuzione normale.
  • La variabilità dei due gruppi è uguale, ossia $\sigma_A=\sigma_B$. Tale ipotesi andrebbe sempre preliminarmente verificata mediante un test F di fisher.

Considerato ciò possiamo formulare il sistema di ipotesi: $$\begin{cases} H_0:\mu_A-\mu_B=0\\ H_1:\mu_A-\mu_B\neq 0\end{cases}$$

Avendo le medie campionarie dei due gruppi di dati, possiamo ricavarci le varianze campionarie corrette $$\begin{array}{l} s_A^2=\frac{0.7^2+1.6^2+0.2^2+\dots + 0^2+2^2-10\cdot 0.75^2}{10-1}=3.2006\\ s_B^2=\frac{1.9^2+0.8^2+1.1^2+\dots + 4.6^2+3.4^2-10\cdot 2.33^2}{10-1}=4.009\end{array}$$ e la varianza congiunta da introdurre nel calcolo della statistica test $$S^2=\frac{(n_A-1)\cdot s_A^2+(n_B-1)\cdot s_B^2}{n_A+n_B-2}=\frac{9\cdot 3.2006+ 9\cdot 4.009}{16}=4.0554$$

Essendo il campione di piccole dimensioni, la statistica test è una variabile con distribuzione t di Student: $$T_{test}=\frac{\overline{x}_A-\overline{x}_B}{\sqrt{S^2\left (\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}\right )}}=\frac{0.75-2.33}{\sqrt{4.0554\left (\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\right )}}=-1.861$$

Essendo i gradi di libertà $\nu = 16$, il valore critico che ricaviamo dalle tavole della distribuzione t di Student in corrispondeza di $\alpha=0.01$ è $t_{0.025}(16)=2.101$.

Poichè $|T_{test}|=1.861 < t_{0.025}(16)=2.101$ concludiamo dicendo che il test non è significativo e che quindi non c'è sufficiente evidenza per rifiutare l'ipotesi nulla

Qual' è la differenza con lo stesso test eseguito invece per dati appaiati? Supponendo i campioni indipendenti, non abbiamo fatto altro che sovrastimare la varianza al denominatore della statistica test e quindi sottostimato il valore di $T_{test}$. Infatti $$VAR{Y_A-Y_B}=VAR(Y_A)+VAR(Y_B)-2COV(Y_A,Y_B)$$

Per dati appaiati e quindi dipendenti, il termine covarianza è generalmente positivo, mentre per dati indipendenti è nullo.

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