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Come effettuare un test di ipotesi

Ricordiamo che i test di ipotesi possono essere classificati in due grandi categorie: paramentrici (quelli in cui si verifica la correttezza di ipotesi relative ad un parametro della popolazione, ad esempio la media, la proporzione, la varianza ecc.) e non parametrici (vedi ad esempio il test chi quadro).

Per i test di ipotesi parametrici possiamo avvelerci delle linee guida necessarie per una corretta formulazione del test.

Detti $\theta$ e $\theta_0$ rispettivamente il parametro e il suo valore di riferimento da sottoporre a test, le tipologie di test che possiamo riscontrare negli esercizi sono le seguenti: $$a)\begin{cases} H_0: \theta=\theta_0\\ H_1: \theta\neq \theta_0\end{cases} \quad b) \begin{cases} H_0: \theta\geq \theta_0\\ H_1: \theta < \theta_0\end{cases} \quad c) \begin{cases} H_0: \theta\leq \theta_0\\ H_1: \theta > \theta_0\end{cases}$$ dove a) è un test bilaterale (perchè in $H_1$ c'è il $\neq$) e b) e c) sono test unilaterali (perchè in $H_1$ c'è o il $<$ o il $>$).

$\theta$ può essere la media $\mu$, la proporzione $p$ o la varianza $\sigma^2$ di una popolazione, oppure ancora la differenza $\mu_1-\mu_2$ tra due medie o la differenza $p_1-p_2$ tra due proporzioni di due popolazioni, ecc...

I passi da percorrere per condurre un test di ipotesi sono i seguenti:

  1. Si scelgono l' ipotesi nulla e l' ipotesi alternativa secondo quanto detto qui.
  2. Si sceglie il livello di significatività $\alpha$ a cui si vuole eseguire il test.
  3. In funzione del tipo di test (unilaterale o bilaterale) e del valore di $\alpha$ scelto, si determinano i valori critici e la regione di rifiuto.
    In particolare, "indicando con $S_{test}$ la statistica test e con $s_{\alpha}$ il valore critico corrispondente al livello di significatività $\alpha$, l'esito del test è
    • per test bilaterali del tipo a): "si rifiuta l'ipotesi nulla $H_0$ se $|S_{test}| > s_{\frac{\alpha}{2}}$
    • per test unilaterali sinistri del tipo b) "si rifiuta l'ipotesi nulla $H_0$ se $S_{test}\ < -\ s_{\alpha}$
    • per test unilaterali destri del tipo c) "si rifiuta l'ipotesi nulla $H_0$ se $S_{test}\ > \ s_{\alpha}$

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