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Distribuzione normale standardizzata

Per determinare la probabilità che la variabile aleatoria normale assuma un valore compreso in un determinato intervallo $(a,b)$ è necessario calcolare l'area sotto la curva compresa tra $a$ e $b$ (vedi figura in basso).

Distribuzione normale standard

Questo significherebbe calcolare il seguente integrale:

$$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^b \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\ dx$$

che riscritto in termini di funzione di ripartizione diventa:

$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$$

Ma questo integrale non è affatto semplice e risulta essere un calcolo troppo dispendioso per la risoluzione di esercizi sulla probabilità di variabili normali.

Per ovviare a ciò, si è pensato di tabulare i valori della funzione di ripartizione (e quindi dell'area sotto la curva) su un'unica tavola numerica. Questo è stato possibile introducendo la seguente trasformazione detta standardizzazione della variabile normale $X$:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{Z=\frac{X-\mu}{\sigma}}$$

ottenendo, così, una variabile aleatoria normale standardizzata $Z$ con valor medio $E(Z)=\mu = 0$ e varianza $VAR(Z)=\sigma^2 = 1$ ($Z\sim N(0,1)$).

Inoltre, si ha:

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}$$

e

$$F(z_0)=P(Z\le z_0)=\int_{-\infty}^{z_0} f(z)\ dz=\int_{-\infty}^{z_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}\ dz$$

Come si può vedere, la funzione di densità e la sua funzione di ripartizione, grazie alla trasformazione, dipendono da un'unica variabile $Z$, pertanto è stato possibile costruire una tavola numerica con i valori delle funzioni al variare di $Z$.

Tale tavola permette di determinare il valore della probabilità per qualsiasi intervallo. Vediamo come utilizzarle fornendo tutti gli esempi del caso.

Guida alla lettura e all'uso delle tavole della distribuzione normale standard

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia minore di un numero positivo $z=1,6$

Dobbiamo determinare $P(Z\le 1,6)$ ovvero il valore della funzione di ripartizione $F(z=1,6)$. Leggiamo la tavola: nella prima colonna sono riportati la parte intera e la prima cifra decimale di $z$, mentre, nella prima riga, la seconda cifra decimale di $z$.

I valori della funzione di ripartizione sono riportati all'interno della tabella.

Per $z=1,6$ si procede nella colonna segnata $z$ fino a $1,6$ e poi si procede a destra e si legge il valore nella prima colonna (segnata 0); la probabilità risulta:

$$F(Z=1,60)=P(Z\le 1,60)=0,9452$$

Questa probabilità è rappresentata nell'area ombreggiata nella figura qui sotto.

Probabilità che Z assume un valore minore di un numero positivo

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia maggiore di un numero positivo $z=0,65$

Dobbiamo calcolare $P(Z\ge 0,65)$. Poichè nella tavola sono tabulati soltanto i valori della funzione di ripartizione (ovvero le probabilità che $Z$ sia minore o uguale di un certo valore $z$), possiamo calcolare la probabilità richiesta osservando che:

$$P(Z\ge 0,65)=1-P(Z < 0,65)=1-F(Z=0,65) = 1- 0,7422= 0,2578$$

dove $F(Z=0,65)$ è stata calcolata come nel primo esempio già visto: procedendo nella colonna segnata da $z$ fino a $0,6$ e poi, procedendo a destra fino alla colonna segnata $5$, si legge il valore $0,7422$.

La probabilità è rappresentata nella figura qui sotto.

Probabilità che Z assume un valore maggiore di un numero negativo

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia minore di un numero negativo $z=-1,12$

La probabilità cercata è rappresentata dall'area ombreggiata nella figura sotto.

Probabilità che Z assume un valore minore di un numero negativo

Dobbiamo trovare $P(Z < -1,12)$. Per determinare tale probabilità si può osservare che la curva è simmetrica rispetto al valore $z=0$, pertanto:

$$P(Z < -1,12)=P(Z > 1,12)$$

e dunque, per quello fatto nel secondo esempio:

$$P(Z > 1,12)=1-F(Z=1,12)=1-0,8686=0,1314$$

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia maggiore di un numero negativo $z=-0,93$

Dobbiamo trovare $P(Z > -0,93)$. Sempre grazie alla simmetria della curva rispetto al valore $z=0$, si ha:

$$P(Z > -0,93) = P(Z < 0,93)=0,8238$$

Probabilità che Z assume un valore maggiore di un numero negativo

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia compresa tra due valori $z_1=0,6$ e $z_2=1,3$

La probabilità cercata è $P(0,6 < Z < 1,3)$ ed è rappresentata dall'area ombreggiata nella figura qui sotto.

Probabilità che Z assume un valore compreso tra due numeri

Per determinare tale probabilità si può osservare che:

$$P(0,6 < Z < 1,3)=F(Z=1,3)-F(Z=0,6)=0,9032-0,7257=0,1775$$

dove i valori di $F(Z=1,3)$ e $F(Z=0,6)$ sono stati determinati leggendoli dalla tavola della distribuzione normale così come fatto negli esempi precedenti.

Calcolo probabilità di variabili con distribuzione normale non standard

Per mezzo della trasformazione vista all'inizio di questo articolo

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

è possibile determinare la probabilità che una generica variabile aleatoria normale $X$, con media $\mu$ e deviazione standard $\sigma$ appartenga ad un intervallo $(a,b)$.

Facciamo subito qualche esempio.

Sia $X$ una variabili aleatoria normalmente distribuita con media $\mu=10$ e deviazione standard $\sigma=3$. Determinare le seguenti probabilità:

  1. $P(X\le 13)$;
  2. $P(X\ge 14,5)$;
  3. $P(-6\le X\le 12)$.

Calcolo probabilità 1: per poter calcolare tale probabilità, occorre dapprima standardizzare la variabile $X$ e quindi il valore $x=13$:

$$P(X\le 13)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{13-10}{3}\right)=P(Z\le 1)=F(Z=1)=0,8413$$

Il valore $F(Z=1)$ è stato letto sulla tavole della distribuzione normale come fatto precedentemente in questo articolo.

Calcolo probabilità 2:

$$P(X\ge 14,5)=P\left(Z\ge\frac{14,5-10}{3}\right)=P(Z\ge 1,5)=1-F(Z=1,5)=1-0,9332=0,0668$$

Calcolo probabilità 3:

$$\begin{array}{l} P(-6\le X\le 12) &= P\left(\frac{-6-10}{3}\le Z\le\frac{12-10}{3}\right)=P(-5,33\le Z\le 0,67)=\\ &=P(Z\le 0,67)- P(Z\le -5,33)= P(Z\le 0,67)-[1-P(Z\le 5,33)]=\\ &= F(Z=0,67)-1+F(Z=5,33)=0,7794-1+1=0,7794\end{array}$$

Da notare che la $F(Z=5,33)\simeq 1$ poichè il valore $z=5,33$ si trova nell'estrema curva destra della distribuzione.

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