Solidi equivalenti

Esempio

Una piramide quadrangolare ha l'area della superficie totale di $896 cm^2$ e il perimetro di base di $56 cm$. Calcola l'area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolare equivalente alla piramide e avente le dimensioni della base lunghe rispettivamente $7 cm$ e $14 cm$.

Occorre inanzitutto calcolare il volume della piramide dato dalla seguente formula: $$ V=S_{base}*\frac{h}{3} $$ Ma per farlo bisogna prima trovare la $S_{base}$ e $h$. Poichè la base della piramide è un quadrato, possiamo ricavarci il lato avendo il perimetro: $$ l=\frac{2p}{4}=\frac{56}{4}=14cm $$ Avendo il lato della base, ricaviamoci l'area di base: $$ S_{base}=l^2=14^2=196cm^2 $$ L'altezza può essere ricavata conoscendo l'area totale del prisma. Infatti: $$ S_{lat}=S_{tot}-S_{base}=896-196=700cm^2 $$ Calcoliamo l'apotema: $$ a=2\frac{S_{lat}}{2p}=2\frac{700}{56}=25cm $$ e il raggio della circonferenza inscritta nella base della piramide: $$ r=\frac{l}{2}=\frac{14}{2}=7cm $$ Dunque, l'altezza sarà: $$ h=\sqrt{a^2-r^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24cm $$ Adesso possiamo ricavarci il volume con la formula scritta inizialmente: $$ V=S_{base}*\frac{h}{3}=196*\frac{24}{3}=1568cm^3 $$ Calcoliamo l'area di base del parallelepipedo: $$ S_{basepar}=base*altezza=7*14=98cm^2 $$ Sapendo che il volume del parallelepipedo è uguale a quello delle piramide, possiamo calcolare la sua altezza: $$ h_{par}=\frac{V}{S_{basepar}}=\frac{1568}{98}=16cm $$ Per calcolare l'area totale del parallelepipedo ci manca l'area laterale: $$ S_{latpar}=2*h_{par}*7+2*h_{par}*14=2*16*7+2*16*14=224+448=672cm^2 $$ Concludiamo calcolando l'area totale del parallelepipedo: $$ S_{tot}=2*S_{basepar}+S_{latpar}=2*98+672=868cm^2 $$