Dicesi sfera un solido ottenuto dalla rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro. Il raggio della sfera è il raggio del semicerchio, mentre il centro della sfera è definito come centro del semicerchio.
Si dice superficie sferica l'insieme dei punti equidistanti $r$ dal centro della sfera.
Le formule che useremo negli esercizi sono le seguenti:
- Volume: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
- Superficie totale: $S_{tot}=4\pi r^2$
- Raggio: $r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}=\sqrt{\frac{S_{tot}}{4\pi}}$
- Cerchio equatoriale: $S_E=\pi r^2$
- Perimetro equatoriale: $2p_E=2\pi r$
Esempio
Una sfera ha il raggio di $9 cm$. Calcola la superficie totale e il volume della sfera data.
Per svolgere l'esercizio, basta applicare le formule sopra elencate: $$ S_{tot}=4\pi r^2=4\pi 9^2=1017.36cm^2 $$ $$ V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi 9^3=3052.08cm^3 $$
Esempio
Una sfera ha una superficie totale di $144\pi cm^2$. Calcola il volume della sfera data.
Sappiamo che: $$ S_{tot}=4\pi r^2\Rightarrow r=\sqrt{\frac{S_{tot}}{4\pi}}=\sqrt{\frac{144\pi}{4\pi}}=6cm $$ Avendo il raggio, possiamo calcolare il volume: $$ V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi 6^3=904.32cm^3 $$
Esempio
Una sfera viene tagliata da un piano a $6 dm$ dal suo centro. La superficie ottenuta con il taglio forma un cerchio di superficie pari a $64\pi dm^2$. Calcola il volume dei due segmenti sferici a una base così ottenuti.
Dati del problema:
- $d=6dm$
- $A_c=64\pi dm^2$
- $V_1=?\quad V_2=?$
Calcoliamo il raggio del cerchio formato: $$ r_1=\sqrt{\frac{A_c}{\pi}}=\sqrt{\frac{64\pi}{\pi}}=8dm $$ Il volume della calotta sferica superiore è dato, quindi, da: $$ V_1=\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{2}=\frac{2}{3}\pi 8^3=1071.79dm^3 $$ Calcoliamo, adesso, il raggio della sfera applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha per cateti il raggio della calotta sferica $r_1$ e la distanza dal centro $d$: $$ r=\sqrt{d^2+r_1^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10dm $$ Avendo il raggio, possiamo trovare il volume della sfera: $$ V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi 10^3=4186.67dm^3 $$ Essendo $V=V_1+V_2$ si ha che il volume della seconda calotta sferica è: $$ V_2=V-V_1=4186.67-1071.79=3144.88dm^3 $$
Esercizi sulla sfera
- Una sfera ha il raggio di $15 m$. Calcola la superficie totale e il volume della sfera data.
- Calcola il volume e la superficie di un emisfero che ha il diametro di $12cm$.
- Una sfera ha il raggio di $18 cm$. Calcola la superficie totale e il volume della sfera data. Calcola il volume dello spicchio e l'area della superficie del fuso sapendo che la corrispondente ampiezza è di $45°$