Il prisma è un poliedro formato da due poligoni paralleli e uguali, che ne costituiscono le basi, e avente come facce laterali dei parallelogrammi, in numero pari al numero di lati del poligono di base.
Tra tutti i prismi possiamo distinguere le seguenti due principali tipologie:
- Prisma retto
- Prisma regolare
Si definisce prisma retto un prisma avente come facce laterali dei rettangoli che sono perpendicolari ai piani contenenti le basi.
Si definisce prisma regolare un prisma avente per base un poligono regolare (ad esempio, un prisma triangolare regolare, ha per base un triangolo equilatero, mentre, un prisma quadrangolare regolare ha per base un quadrato).
Elenchiamo alcune formule che ci serviranno in seguito per svolgere gli esercizi:
- Volume: $V=S_b\cdot h$
- Superficie totale: $S_{tot}=S_{lat}+2S_b$
- Superficie laterale: $S_{lat}=2p\cdot h=S_{tot}-2S_b$
- Superficie di base: $S_b=\frac{V}{h}=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}$
- Perimetro di base: $2p=\frac{S_{lat}}{h}$
- Altezza: $h=\frac{S_{lat}}{2p}=\frac{V}{S_b}$
Esempio
Un prisma alto $9 cm$ ha per base un triangolo isoscele che ha l'altezza relativa alla base di $8 cm$ e i lati obliqui di $10 cm$. Calcola la misura della superficie totale e del volume del solido.
Scriviamo i dati del problema:
- $b=HC=8cm$
- $l=AC=CB=10cm$
- $h=AD=9cm$
- $S_{tot}=?\quad V=?$
Per calcolare la superficie totale del prisma, dobbiamo trovare l'area di tutte le facce che la compongono. In particolare calcoliamo l'area di base e la superficie laterale.
Per la prima ricaviamoci la lunghezza della base AB applicando il teorema di Pitagora al triangolo ACB: $$ b=AB=2\sqrt{l^2-h^2}=2\sqrt{10^2-8^2}=2\sqrt{100-64}=2\sqrt{36}=12cm $$ Possiamo ora calcolare l'area di base: $$ S_b=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{12\cdot 8}{2}=12\cdot 4=48cm^2 $$ Troviamoci il perimetro del triangolo di base che ci servirà successivamente per calcolare la superficie laterale: $$ 2p=2l+b=2\cdot 10+12=20+12=32cm $$ Dunque, la superficie laterale sarà data da: $$ S_{lat}=2p\cdot h=32\cdot 9=288cm^2 $$ Mentre, la superficie totale sarà: $$ S_t= 2\cdot S_b+S_l=2\cdot 48+288=96+288=384cm^2 $$ Infine, possiamo calcolare il volume del solido: $$ V=S_b\cdot h=48\cdot 9=432cm^3 $$
L'unità di misura del volume di un solido è espressa come $cm^3$ o $m^3$ proprio perchè è data dal prodotto delle $3$ dimensioni: larghezza, altezza e profondità.
Esempio
L'area laterale di un prisma triangolare regolare è di $1725 cm^2$. Sapendo che l'altezza del prisma è di $25 cm$, calcola la lunghezza dello spigolo di base.
I dati del problema sono:
- $S_{lat}=1725cm^2$
- $h=AD=25cm$
- $S_{base}=AB=AC=CB=?$
Per trovare lo spigolo di base del triangolo, ovvero uno dei suoi lati, possiamo servirci della superficie laterale e dell'altezza già note: $$ S_l=2p\cdot h=1725cm^2\Rightarrow 2p=\frac{S_l}{h}=\frac{1725}{25}=\frac{345}{5}=69cm $$ Essendo il prisma con base triangolare regolare, i lati del triangolo sono tuti uguali, per cui: $$ S_{base}=\frac{2p}{3}=\frac{69}{3}=23cm $$
Esempio
Un prisma retto alto $50 cm$ ha per base un trapezio isoscele con le basi di $20 cm$ e $52 cm$ e il lato obliquo di $34 cm$. Calcolate l'area della superficie totale, il volume del prisma e il suo peso, sapendo che è fatto di vetro (ps $2,5 g/cm^3$).
I dati del problema:
- $b_1=AB=52cm$
- $b_2=20cm$
- $l=AD=CB=34cm$
- $h=AL=50cm$
- $ps=2.5$
- $S_{tot}=?\quad V=?\quad Peso=?$
Calcoliamo, dapprima, l'area di base del prisma, ovvero l'area del trapezio isoscele. Per far ciò, è necessario conoscere l'altezza del trapezio: $$ HB=\frac{b_1-b_2}{2}=\frac{52-20}{2}=\frac{32}{2}=16cm $$ Applicando il teorema di Pitagora al triangolo HCB, calcoliamo l'altezza del trapezio: $$ h_{trapezio}=HC=\sqrt{l^2+HB^2}=\sqrt{34^2-16^2}=\sqrt{1156-256}=\sqrt{900}=30cm $$ L'area del trapezio è dunque: $$ S_{trapezio}=\frac{b_1+b_2}{2}\cdot h_{trapezio}=\frac{52+20}{2}\cdot 30=72\cdot 15=1080cm^2 $$ Calcoliamo il perimetro del trapezio e quindi, l'area della superficie laterale: $$ 2p=b_1+b_2+2l=52+20+2\cdot 34=140cm $$ $$ S_{lat}=2p\cdot h=140\cdot 50=7000cm^2 $$ L'area totale si trova facilmente nel seguente modo: $$ S_{tot}=2\cdot S_{trapezio}+S_{lat}=2\cdot 1080+7000=2160+7000=9160cm^2 $$ Il volume, invece, sarà: $$ V=S_{trapezio}\cdot h=1080\cdot 50=54000cm^3 $$ Infine, il peso del prisma sarà pari al prodotto tra il volume e il peso specifico: $$ Peso=V\cdot ps=54000\cdot 2.5=135000g=135kg $$
Esercizi sui prismi retti e regolari
- Un prisma alto $5 cm$ ha per base un triangolo rettangolo che ha i cateti che misurano $6 cm$ e $8 cm$. Calcola la misura della superficie totale e del volume del solido.
- Un prisma retto ha per base un rombo il cui perimetro è di $12 cm$ e la cui diagonale minore misura $3.6 cm$. Sapendo che l'area laterale è di $60 cm^2$, calcola l'area totale del prisma.
- Un prisma retto ha per base un rombo avente le diagonali di $16$ e $12 cm$. Sapendo che l'altezza del prisma è uguale al lato del rombo di base, calcola l'area della superficie totale e il volume del solido.