Dati due numeri $a$ (antecedente) e $b$ (conseguente) con $b\neq 0$ chiamasi rapporto il quoziente tra $a$ e $b$. Esso può essere indicato tramite una divisione ($a:b$), una frazione $\left(\frac{a}{b}\right)$ o un numero (decimale o naturale).
Ad esempio, consideriamo il rapporto tra le partite di calcio vinte da una squadra durante un torneo e le partite giocate è di $8$ a $13$.
Tale rapporto, come detto può essere indicato in tre diversi modi:
$8:13=\frac{8}{13}=0,6154$
Consideriamo adesso quest'altro esempio: in un anno una gallina riesce a fare $15$ pulcini di cui solo $5$ riescono a sopravvivere. Il rapporto tra i pulcini che sopravvivono e quelli che nascono è di $5$ su $15$.
$5:15=\frac{5}{15}=\frac{1}{5}=0,2$
Definiamo rapporto inverso di $\frac{a}{b}$ il rapporto che si ottiene scambiando il numeratore (o antecedente) con il denominatore (o conseguente) e si indica con $\frac{b}{a}$
Esempio
Il rapporto inverso di $\frac{3}{5}$ è $\frac{5}{3}$.
Osservazione:
Il prodotto tra un rapporto e il suo inverso è pari a $1$.
Esempio
$\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}=1$.
Osservazione:
Vale la proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo i termini di un rapporto per la stessa quantità, il rapporto non cambia.
Esempio
$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{6}{10}$.
Prima di definire il rapporto tra due grandezze omogenee diamo la seguente definizione:
Due grandezze si dicono omogenee se hanno la stessa unità di misura.
Esempio
La misura della base di un triangolo è $b=15cm$ mentre l'altezza è $h=5cm$. $b$ e $h$ sono due grandezze omogenee perchè espresse entrambi con la stessa unità di misura ovvero in $cm$.
Analizziamo il rapporto tra due grandezze omogenee. Se, nell'esempio precedenti volessi fare il rapporto tra base e altezza del triangolo, otterei:
$$\frac{b}{h}=\frac{15cm}{5cm}=3$$
Notiamo che ottengo una numero senza unità di misura, ovvero un numero puro. Dunque, il rapporto tra due grandezze omogenee è un numero puro.
Banalmente, due grandezze si dicono non omogenee se non hanno la stessa unità di misura
Esempio
Dalla fisica, sappiamo che se un macchina percorre $400km$ in $3h$, la velocità media si calcola facendo:
$$v=\frac{s}{t}=\frac{400km}{3h}=133,3km/h$$In questo caso, la velocità non è un numero puro perchè ha un'unità di misura. il rapporto tra due grandezze non omogenee viene detto grandezza derivata. Nel nostro caso, la velocità è una grandezza derivata.