Proporzioni

<p>Dicesi <strong>proporzione</strong> un'uguaglianza tra due rapporti.</p>
<p>$$A:B=C:D$$</p>
<p>$A,\ B,\ C,\ D$ si dicono termini della proporzione. In particolare $A$ e $D$ si dicono <strong>estremi</strong>, mentre $B$ e $C$ si chiamano <strong>medi</strong>.</p>
<p>Le proporzioni godono delle seguenti proprietà:</p>
<ul class="def">
<ul class="def">
<li><strong>Regola fondamentale</strong>:</li>
</ul>
</ul>
<p>il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi: $A\cdot D=B\cdot C$</p>
<div class="ex">
<p class="strong">Esempio</p>
<p>Consideriamo la proporzione $15:5=30:10$</p>
<p>Applicando la regola precendente, avrei: $15*10=5*30$ che effettivamente è ancora un'uguaglianza.</p>
</div>
<ul class="def">
<ul class="def">
<li><strong>Proprietà dell'invertire</strong>:</li>
</ul>
</ul>
<p>$A:B=C:D$ è equivalente a $B:A=D:C$:</p>
<div class="ex">
<p class="strong">Esempio</p>
<p>Si verifica facilmente come la proporzione $15:5=30:10$ sia equivalente a $5:15=10:30$</p>
</div>
<ul class="def">
<ul class="def">
<li><strong>Proprietà del permutare gli estremi</strong>:</li>
</ul>
</ul>
<p>$A:B=C:D$ è equivalente a $D:B=C:A$:</p>
<div class="ex">
<p class="strong">Esempio</p>
<p>Si verifica facilmente come la proporzione $15:5=30:10$ sia equivalente a $10:5=30:15$</p>
</div>
<ul class="def">
<ul class="def">
<li><strong>Proprietà del permutare i medi</strong>:</li>
</ul>
</ul>
<p>$A:B=C:D$ è equivalente a $A:C=B:D$:</p>
<div class="ex">
<p class="strong">Esempio</p>
<p>Si verifica facilmente come la proporzione $15:5=30:10$ sia equivalente a $15:30=5:10$</p>
</div>
<ul class="def">
<ul class="def">
<li><strong>Proprietà del comporre</strong>:</li>
</ul>
</ul>
<p>$A:B=C:D$ è equivalente a $(A+B):B=(C+D):D$ oppure $(A+B):A=(C+D):C$:</p>
<ul class="def">
<ul class="def">
<li><strong>Proprietà dello scomporre</strong>:</li>
</ul>
</ul>
<p>Supposto $A&gt;B$, $A:B=C:D$ è equivalente a $(A+B):B=(C+D):D$ oppure $(A+B):A=(C+D):C$:</p>
<p><a name="proporzioni_una_incognita"></a></p>
<h2 class="par">Come svolgere le proporzioni con un'incognita</h2>
<p><i>Se l'incognita della proporzione è un medio, allora esso si calcola facendo il prodotto dei due estremi diviso l'altro medio</i></p>
<p>Ovvero, data la proporzione $A:x=C:D$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:</p>
<p>$$x=\frac{A\cdot D}{C}$$</p>
<p>Analogamente, data la proporzione $A:B=x:D$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:</p>
<p>$$x=\frac{A\cdot D}{B}$$</p>
<p><i>Se, invece, l'incognita della proporzione è un estremo, allora esso si calcola facendo il prodotto dei due medi diviso l'altro estremo</i></p>
<p>In altre parole, data la proporzione $x:B=C:D$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:</p>
<p>$$x=\frac{B\cdot C}{D}$$</p>
<p>Analogamente, data la proporzione $A:B=C:x$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:</p>
<p>$$x=\frac{B\cdot C}{A}$$</p>
<div class="ex">
<p class="strong">Esempio</p>
<p>Sappiamo che per preparare $150gr$ di marmellata di fragole occorrono $2000gr$ di fragole. Quanti grammi di fragole occorrono se volessimo preparare $250gr$ di marmellata?</p>
</div>
<p>Indichiamo con $x$ i chili di fragole che occorrono per preparare $250gr$ di marmellata. La proporzione si imposta dicendo che $150gr$ stanno a $2000gr$ come $250gr$ stanno a $x$. In formule scriveremo:</p>
<p>$$150:2000=250:x$$</p>
<p>Essendo l'incognita un estremo, possiamo calcolarla facendo il prodotto tra i medi e dividendo per l'altro estremo:</p>
<p>$$x=\frac{2000*250}{150}=\frac{500000}{150}=3333,33$$</p>
<p>Quindi, abbiamo bisogno di circa $3333gr$ di fragole per preparare $250gr$ di marmellata.</p>
<div class="ex">
<p class="strong">Esempio</p>
<p>$17$ bombole hanno gas per $30$ giorni. Se le bombole fossero $4$, quanti giorni durerebbe il gas?</p>
</div>
<p>Indichiamo con $x$ il numero di giorni entro cui le $4$ bombole forniscono gas. La proporzione può essere impostata nel seguente modo: $17$ bombole stanno a $30$ giorni come $4$ bombole stanno a $x$ giorni</p>
<p>$$17:30=4:x$$</p>
<p>Come prima, per calcolare $x$ facciamo il prodotto tra i medi e dividiamo per l'altro estremo:</p>
<p>$$x=\frac{30*4}{17}=\frac{120}{17}=7,06$$</p>
<p>Quindi, $4$ bombole fornirebbero gas per circa $7$ giorni.</p>
<div class="ex">
<p class="strong">Esempio</p>
<p>Un rubinetto impiega $2h$ e $10 m$ per riempire una vasca della capacità di $60 l$. Calcolare in quanto tempo verserebbe $40 l$.</p>
</div>
<p>Indichiamo con $x$ il tempo in minuti. Innanzitutto trasformiamo il tempo di $2h$ e $10 m$ in minuti</p>
<p>$$2h\ 10m=60*2+10=130m$$</p>
<p>Impostiamo la proporzione:</p>
<p>$$130:60=x:40$$</p>
<p>Poichè l'incognita è un medio, per calcolare $x$ facciamo il prodotto tra gli estremi e dividiamo per l'altro medio:</p>
<p>$$x=\frac{130*40}{60}=\frac{5200}{60}=86,67m$$</p>
<p>Trasformando $86,67m$ in ore e minuti otteniamo:</p>
<p>$$86,67m=1h\ 27m$$</p>
<p>Quindi, il rubinetto impiegherebbe circa $1h$ e $27m$ per versare $40l$ di acqua.</p>
<p class="par">Esercizi sulle proporzioni da svolgere</p>
<ol>
<li>Per partecipare a una gita scolastica, un gruppo di $32$ ragazzi deve versare una quota procapite di $16,50$ euro. Poco prima di partire, $6$ ragazzi si ritirano. A quanto ammonta adesso la quota per ragazzo?</li>
<li>Un auto impiega $3$ ore per spostarsi da Catania a Palermo alla velocità media $100km/h$. Calcolare la velocità media di un altra auto che percorre lo stesso tragitto in $2$ ore.?</li>
<li>Per la costruzione di un muro in pietra in $10$ giorni, sono necessari 15 operai. Quanti operai sono necessari se si volesse anticipare la fine dei lavori di 2 giorni?</li>
</ol>