Grandezze direttamente proporzionali
Due grandezze $A$ e $B$ sono tra di loro direttamente proporzionali se il loro rapporto è una costate; in formule:
$$\frac{A}{B}=k$$
$k$ è detta costante di proporzionalità diretta.
Ad esempio, consideriamo il peso di una certa quantità di arance ($A$) e il suo prezzo al kg ($B$).
| Peso delle arance (Kg) | Prezzo al Kg (€) |
|---|---|
| $1$ | $2$ |
| $2$ | $4$ |
| $3$ | $6$ |
| $4$ | $8$ |
Notiamo che all'aumentare del peso, anche il prezzo aumenta ed inoltre, il rapporto tra prezzo e peso si mantiene sempre costante:
$$\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=2$$
Possiamo scrivere che
$$\frac{prezzo}{peso}=2$$
ovvero, la costante di proporzionalità diretta è $2$.
Grandezze inversamente proporzionali
Due grandezze $A$ e $B$ sono tra di loro inversamente proporzionali se il loro prodotto è una costate; in formule:
$$A\cdot B=k$$
$k$ è detta costante di proporzionalità inversa.
Consideriamo il numero di lati di un poligono regolare di perimetro $360cm$ ($A$) e la misura del suo lato espressa in cm ($B$).
| Numero di lati | Misura del lato (cm) |
|---|---|
| $3$ | $120$ |
| $4$ | $90$ |
| $5$ | $72$ |
| $6$ | $60$ |
Notiamo che all'aumentare del numero di lati, la misura del singolo lato diminuisce ed inoltre, il prodotto tra le due grandezze si mantiene sempre costante:
$$3*120=4*90=5*72=6*60=360$$
Possiamo scrivere che
$$n°\ lati*misura\ lato=360$$
ovvero, la costante di proporzionalità inversa è $360$.
Esempio
Sia data la seguente tabella che mostra alcuni valori delle coppie $x$ e $y$. Individuare il tipo di proporzionalità e la costante di proporzionalità.| x | y |
|---|---|
| $1$ | $3$ |
| $2$ | $6$ |
| $3$ | $9$ |
| $4$ | $12$ |
Per prima cosa notiamo che all'aumentare di $x$ aumenta pure $y$. Inoltre il loro rapporto si mantiene sempre costante:
$$\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=\frac{9}{3}=\frac{12}{4}=3$$
Si ha che $y$ è direttamente proporzionale a $x$ con costante di proporzionalità diretta pari a $3$.
Esempio
Sia data la seguente tabella che mostra alcuni valori delle coppie $x$ e $y$. Individuare il tipo di proporzionalità e la costante di proporzionalità.| x | y |
|---|---|
| $80$ | $40$ |
| $50$ | $64$ |
| $25$ | $128$ |
| $10$ | $320$ |
Per prima cosa notiamo che al diminuire di $x$, $y$ aumenta. Inoltre il loro prodotto si mantiene sempre costante:
$$80*40=50*64=25*128=10*320=3200$$
Si ha che $y$ è inversamente proporzionale a $x$ con costante di proporzionalità inversa pari a $3200$.
Esercizi sulla proporzionalità da svolgere
- Sia data la seguente tabella che mostra alcuni valori delle coppie $x$ e $y$. Individuare il tipo di proporzionalità e la costante di proporzionalità.
| x | y |
|---|---|
| $7$ | $1$ |
| $14$ | $2$ |
| $28$ | $4$ |
| $35$ | $5$ |
- Sia data la seguente tabella che mostra alcuni valori delle coppie $x$ e $y$. Individuare il tipo di proporzionalità e la costante di proporzionalità.
| x | y |
|---|---|
| $3$ | $6$ |
| $9$ | $2$ |
| $18$ | $1$ |
| $27$ | $\frac{2}{3}$ |