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Funzione omografica

In questo articolo ti presento equazione e formule di una funzione omografica.

Innanzitutto vediamo qual è l'equazione di una funzione omografica. Chiamasi funzione omografica una funzione che si può esprimere nella forma:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}\quad\quad\mbox{con}\quad a,\ b,\ c,\ d\in\mathbb R$$

funzione omografica

In pratica, la funzione omografica non è altro che un'iperbole equilatera non centrata nell'origine.

A seconda dei valori delle costanti $a,\ b,\ c,\ \mbox{e}\ d$ si ottengono i seguenti luoghi geometrici:

  1. Se $c=0$ otteniamo $y=\cfrac{a}{d}x+\cfrac{b}{d}$ che è l'equazione di una retta in forma esplicita.
  2. Se $ad=bc$ si ottiene $y=\cfrac{a}{c}$ che è l'equazione di una retta orizzontale (parallela all'asse delle $x$).
  3. Se $c\neq 0$ e $ad\neq bc$ siamo in presenza di un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani ma non coincidenti con essi.

Iperbole equilatera come grafico della funzione omografica

Mettiamoci nelle condizioni del caso 3) appena visto. Le equazioni degli asintoti dell'iperbole sono dati da:

$$y=\frac{a}{c}\quad\quad x=-\frac{d}{c}$$

mentre le equazioni degli assi di simmetria dell'iperbole sono:

$$y-\frac{a}{c}=\pm\left(x+\frac{d}{c}\right)$$

Il centro di simmetria ha coordinate:

$$C\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)$$

Inoltre, sapendo che

$$k=\left|\frac{ad-bc}{c^2}\right|$$

possiamo ricavarci i vertici dell'iperbole:

$$V_1\left(-\frac{d}{c}+\sqrt{k},\ \frac{a}{c}+\sqrt{k}\right)\quad\quad V_2\left(-\frac{d}{c}-\sqrt{k},\ \frac{a}{c}-\sqrt{k}\right)$$

e i fuochi dell'iperbole:

$$F_1\left(-\frac{d}{c}+\sqrt{2k},\ \frac{a}{c}+\sqrt{2k}\right)\quad\quad F_2\left(-\frac{d}{c}-\sqrt{2k},\ \frac{a}{c}-\sqrt{2k}\right)$$

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