In questo breve articolo esponiamo alcune proprietà delle potenze di $10$ molto utili in fisica.
Prima di tutto capiamo cosa sono le potenze (in particolare le potenze di base 10).
Consideriamo la seguente moltiplicazione molto particolare $10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10$.
Per evitare scritture così lunghe è stata introdotta una nuova operazione: la potenza: $10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10$ si scrive $10^7$ (si legge $10$ alla settima). Il numero $10$ è la base e il numero $7$ è l'esponente della potenza.
Dunque, se l'esponente è maggiore di $1$, la potenza è il prodotto di tanti fattori, quanti vengono indicati dall'esponente, tutti uguali alla base.
Se l'esponente è negativo, vedremo nella prima proprietà come comportarsi in tale caso.
Osserviamo che $10$ elevato a $1$ dà come risultato se stesso:
$$10^1=10$$
Inoltre, $10$ elevato a $0$ è uguale a $1$
$$10^0=1$$
Passiamo, adesso, alle proprietà più utilizzate: ovvero la potenza con esponente negativo, la moltiplicazione e la divisione tra potenze di $10$ e la potenza di potenza.
- Potenza di $10$ con esponente negativo:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{10^{-n} =\frac{1}{10^n}}$$
Ad esempio $$10^{-2} = \frac{1}{10^2}$$ $$10^{-6} = \frac{1}{10^6}$$ $$10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}$$
- Prodotto di potenze di base $10$:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{10^n\cdot 10^m=10^{n+m}}$$
dove $m$ e $n$ sono numeri qualsiasi (la loro differenza può anche essere un numero negativo!).
Ad esempio $$10^2 \cdot 10^3 = 10^{2+3} = 10^{5}$$ $$10^{3} \cdot 10^{-4} = 10^{3-4} = 10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}$$
- Quoziente di potenzedi base $10$:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{10^n: 10^m=a^{n-m}}$$
dove $m$ e $n$ sono numeri qualsiasi (la loro differenza può anche essere un numero negativo!). Ad esempio
$$10^4 : 10^3 = 10^{4-3} = 10^{1} = 10$$ $$10^{-2} : 10^{-3} = 10^{-2-3} = 10^{-5} =\frac{1}{10^5}$$ $$10^2 : 10^{-3} = 10^{2-3} = 10^{-1} = \frac{1}{10}$$
- Potenza di una potenza di $10$:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{(10^n)^m=10^{n\cdot m}}$$
dove $m$ e $n$ sono numeri qualsiasi. Ad esempio:
$$(10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^{6}$$ $$(10^1)^{-3} = 10^{(-1)\cdot 3} = 10^{-3} = \frac{1}{10^3}$$
Osserviamo che $10^n$ è il numero $1$ seguiti da tanti zeri quanto vale $n$. Cioè
$$10^5 = 100000$$
$$10^3 = 1000$$
$$10^2 = 100$$
e così via...
Infine, esplicitiamo il fatto che anche $10^{-n}$ ha $n$ zeri ma questa volta precedono la cifra $1$. Il numero sarà quindi un numero decimale con $n-1$ zeri dopo la virgola. Ad esempio:
$$10^{-4} = 0.0001$$
$$10^{-3} = 0.001$$
$$10^{-1} = 0.1$$
e così via..
