Diciamo che una funzione $f(x):D\longrightarrow\mathbb{R}$ è continua in un punto $x_0\in D$ se esiste ed è finito
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}\quad\large\star$$
e valgono le seguenti:
- Limite destro e sinistro coincidono e sono finiti: $$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=L$$
- Il valore del limite $\large\star$ coincide con il valore della funzione calcolata nel punto: $$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)=L$$
Se qualcuna delle condizioni sopra dette non sono soddisfatte per il punto $x_0$ in questione, la funzione presenterà qualche tipo di discontinuità.
Discontinuità di prima specie o salto
La $f(x)$ presenta una discontinuità di prima specie in $x_0$ se limite destro e sinistro sono finiti ma diversi, ossia:
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=L_1\ \neq\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=L_2,\quad L_1,L_2\in\mathbb{R}$$
Esempio
Studiamo la continuità della funzione $$f(x)=\begin{cases} 2x+2 & \mbox{se} x<0\\ 1-\sqrt{x} & \mbox{se} x\geq 0\end{cases}$$ nel punto $x=0$
Calcoliamo limite sinistro e destro: $$\begin{array}{l} \lim\limits_{x\rightarrow 0^-}2x+2=2\\ \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}1-\sqrt{x}=1\end{array}$$
Essendo entrambi finiti ma distinti, abbiamo una discontinuità di prima specie nel punto $x=0$. Tale discontinuità viene anche chiamata salto poiché il grafico della funzione in corrispondenza di $x=0$ ha una sorta di gradino:
Discontinuità di seconda specie
La $f(x)$ presenta una discontinuità di seconda specie in $x_0$ se almeno uno dei due limiti destro e sinistro sono infinito, ossia:
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\pm\infty$$
e/o
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\pm\infty$$
Esempio
Studiamo la continuità della funzione $$f(x)=\frac{x^2+2x+4}{x-2}$$ nel punto $x=2$
Innanzitutto notiamo che tale funzione non è definita per $x=2$ in quanto valore che annulla il denominatore. Vediamo di che tipo di discontinuità si tratta calcolando limite destro e sinistro: $$\begin{array}{l} \lim\limits_{x\rightarrow 2^-}\frac{x^2+2x+4}{x-2}=\frac{12}{0^-}=-\infty\\ \lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\frac{x^2+2x+4}{x-2}=\frac{12}{0^+}=+\infty\end{array}$$
Si tratta di un punto di discontinuità di seconda specie dato che entrambi i limiti sono infiniti. Nota che, avremmo discontinuità di seconda specie anche quando uno solo dei due limiti risultasse infinito.
Tale discontinuità può essere graficata mediante l'asintoto verticale $x=2$ come mostra la figura in basso
Discontinuità di terza specie o eliminabile
La $f(x)$ presenta una discontinuità di terza specie in $x_0$ se esiste finito il limite $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ ma è diverso dalla funzione calcolata nel punto $x_0$, ossia:
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=L\ \neq f(x_0)$$
Tale punto di discontinuità si dice eliminabile perchè si può prolungare la f per continuità, il che vuol dire trovare una funzione prolungamento g che sia continua anche in $x_0=0$. In questo caso basta applicare la legge
$$g(x)=\begin{cases}\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x) & \mbox{se } x=x_0\\ f(x) & \mbox{se } x\neq x_0\end{cases}$$
Esempio
Studiamo la continuità della funzione $f(x)=\frac{x}{3^{\frac{1}{x}}+1}$ nel punto $x=0$:
$$\begin{array}{l} \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{3^{\frac{1}{x}}+1}=\frac{0}{+\infty}=0\\ \lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\frac{x}{3^{\frac{1}{x}}+1}=\frac{0}{1}=0\end{array}$$
Il limite della f nel punto $x=0$ esiste ma la f non è definita in 0. Allora possiamo prolungarla per continuità ottenendo:
$$g(x)=\begin{cases}\frac{x}{3^{\frac{1}{x}}+1} & \mbox{se} x\neq 0\\ 0 & \mbox{se} x = 0\end{cases}$$