La serie armonica è una serie a termini non negativi divergente. Essa è:
$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$$
Serie armonica generalizzata
La serie appena esposta si può generalizzare se eleviamo il termine generale a un certo esponente $p$: si definisce, così la serie armonica generalizzata:
$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p}$$
Anche in questo caso, è noto il suo carattere al variare dell'esponente $p$:
- se $p > 1$ la serie converge;
- se $p \le 1$ la serie diverge;
Grazie a questo possiamo dire per esempio che $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ è divergente (poichè $p=1/2\le 1$) oppure che $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n2}$ è convergente (poichè ($p=2>1$).
Criterio del confronto
La conoscenza del carattere di una serie numerica è molto spesso utile per determinarne il carattere di un'altra. Per far ciò, ci serviamo del cosiddetto criterio del confronto con la serie armonica generalizzata.
Siano date due serie numeriche a termini non negativi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ e $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n$. Allora si ha:
- se $a_n\le b_n\ \forall n\in\mathbb N$ e $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n$ è convergente $\quad \Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ è pure convergente;
- se $a_n\ge b_n\ \forall n\in\mathbb N$ e $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n$ è divergente $\quad \Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ è pure divergente.
Criterio del confronto generalizzato o asintotico
Non sempre, però, due serie possono essere messe a confronto, cioè non sempre è facile stabilire se tutti i termini di una prima serie risultano minori o maggiori di una seconda serie (in sostanza affermare la veridicità delle ipotesi $a_n\le b_n$ oppure $a_n\ge b_n$). In questi casi risulta più semplice utilizzare il criterio del confronto generalizzato:
date la serie numeriche a termini non negativi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ si ha che:
- se $\exists\ p>1:\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n\cdot n^p < +\infty\quad \Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ è convergente;
- se $\exists\ p\le 1:\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n\cdot n^p\in ]0,+\infty]\quad \Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ è divergente.
Consulta altri esercizi svolti sul criterio del confronto con serie armonica