Una serie numerica $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ si dice assolutamente convergente se la serie $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|a_n|$ è convergente.
Studio del carattere di una serie a segni alterni
Il concetto di assoluta convergenza di una serie è importante quando ci troviamo di fronte ad una serie numerica a segni alterni del tipo:
$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n\quad a_n\ge 0\ \forall n\in\mathbb N$$
In questi casi, infatti, possiamo studiarne il carattere scegliendo una delle seguente due strade:
- a) studiando l'assoluta convergenza della serie;
- b) applicando il criterio di Leibniz.
Il punto a) consiste nello studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left|(-1)^n a_n\right|=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$$
Per quello detto riguardo l'assoluta convergenza, se la serie appena scritta è convergente, lo sarà anche la serie a segni alterni, ovvero $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n$.
Criterio di Leibniz
Se il metodo a) fallisce, ovvero la serie data non è assolutamente convergente, passiamo al metodo b), ovvero verifichiamo le ipotesi del teorema di Leibniz.
Sia $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n\quad a_n\ge 0\ \forall n\in\mathbb N$ una serie numerica a segni alterni. Tale serie converge se sono verificate le seguenti due ipotesi:
- $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n=0$;
- $a_n > a_{n+1}\ \forall n\in\mathbb N$ ($a_n$ monotona decrescente).
Inoltre, se la serie converge, denotato con $S$ la somma della serie e con $S_n$ la somma parziale dei primi n termini della serie, si ha:
$$|S-S_n|\le a_{n+1}$$
Teorema per le serie oscillanti
Sia $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n\quad a_n\ge 0\ \forall n\in\mathbb N$ una serie numerica a segni alterni. Tale serie oscilla se sono verificate le seguenti due ipotesi:
- $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n\neq 0$;
- $a_n$ monotona (crescente o decrescente).
Consulta gli esercizi svolti sulle serie a segni alterni e oscillanti