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Forma esponenziale

Un numero complesso espresso in forma trigonometrica può essere anche espresso in forma esponenziale adoperando il numero $e$ di Nepero:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{r(\cos\theta +i\sin\theta)=re^{\theta i}}$$

con l'angolo $\theta$ espresso in radianti.

Tale espressione deriva dalla famosa Formula di Eulero ricavata dallo sviluppo in serie delle funzioni seno e coseno: $$e^{\theta i}(\cos\theta +i\sin\theta)$$ che si può generalizzare per qualsiasi numero complesso $z$ ad esponente: $$e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x(\cos y +i\sin y)$$

La forma esponenziale dei numeri complessi rende particolarmente semplificata la determinazione del prodotto e del quoziente di due numeri complessi, della potenza e delle radici di un numero complesso ed è molto utilizzata nelle applicazioni matematiche di analisi complessa.

Scrivere in forma esponenziale il numero complesso $-2+2i$

Il modulo $r$ è dato da:

$$r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

L'anomalia $\theta$ è data da:

$$\theta=\arctan\frac{b}{a}=\arctan -1=\frac{3}{4}\pi$$

Pertanto possiamo scrivere

$$-2+2i=2\sqrt{2}e^{\frac{3}{4}\pi i}$$

Scrivere in forma esponenziale il numero complesso $\sqrt{3}+i$

Il modulo $r$ è dato da:

$$r=\sqrt{3+1}=2$$

L'anomalia $\theta$ è data da:

$$\theta=\arctan\frac{b}{a}=\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\arctan \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}$$

Pertanto possiamo scrivere

$$\sqrt{3}+i=2e^{\frac{\pi}{6}i}$$
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