o-piccolo

Parlando di limiti e grado di infinito di funzioni viene spesso usato il simbolo di Landau o-piccolo. Supponiamo di avere due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ e un punto $x_0$ di accumulazione per $g(x)$ e consideriamo il seguente limite infinitesimo (risulta 0): $$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$ Spesso in ambito universitario, quando non c'è pericolo di ambiguità, si usa sostituire tale limite con l'espressione $f=o(g)$ (leggi: f è un o-piccolo di g).

Esempi o-piccolo

  1. $x^2=o(x)$ per $x\rightarrow 0$, infatti $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{x}=0$
  2. $\sin x=o(x)$ per $x\rightarrow 0$, infatti il limite notevole $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=0$
  3. $1-\cos x=o(x)$ per $x\rightarrow 0$, infatti il limite notevole $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$
  4. $1-\cos x=o(x)$ per $x\rightarrow 0$, infatti il limite notevole $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$
  5. $\ln x=o(x)$ per $x\rightarrow +\infty$, infatti il limite notevole $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0$

Dagli esempi, possiamo osservare che se $x\rightarrow 0$, le seguenti espressioni sono equivalenti:

  • $f=o(g)$ (per $x\rightarrow 0$)
  • $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$
  • $f$ è infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g$ (per $x\rightarrow 0$)
  • $f$ tende a 0 più velocemente di $g$ (per $x\rightarrow 0$)

A tal proposito viene spontaneo mensionare gli sviluppi in serie di Mc Laurin, esempio di applicazione degli o-piccoli nell'analisi matematica.

Nel caso che $x\rightarrow +\infty$, si parla invece di infiniti:

  • $f=o(g)$ (per $x\rightarrow +\infty$)
  • $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0$
  • $f$ è infinito di ordine inferiore rispetto a $g$ (per $x\rightarrow +\infty$)
  • $f$ tende a $+\infty$ più lentamente di $g$ (per $x\rightarrow +\infty$)

Algebra degli o-piccolo

Lavorando con gli o-piccoli ci si imbatte inevitabilmente in espressioni che possono essere svolte utilizzando le seguenti proprietà. Consideriamo $x\rightarrow x_0$:

  1. Proprietà o-piccolo di $f$: dalla definizione di o-piccolo si ha: $$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{o(f(x))}{f(x)}=0$$
  2. Somma tra o-piccoli: la somma di o-piccoli della stessa funzione $f$ è ancora un o-piccolo di $f$: $$o(f)+o(f)=o(f)$$ Inoltre, se $g=o(f)$ allora: $$o(f)+o(g)=o(f)$$
  3. Prodotto per una costante: il prodotto tra una costante e un o-piccolo di $f$ è ancora un o-piccolo di $f$ $$o(c\cdot f)=c\cdot o(f)=o(f)$$
  4. Prodotto tra funzione e o-piccolo: $$g\cdot o(f)=o(g\cdot f)$$
  5. Prodotto tra o-piccoli: $$o(g)\cdot o(f)=o(g\cdot f)$$
  6. Potenza di o-piccolo: $$o(f)^{\alpha}=o(f^{\alpha})$$
  7. Composizione di o-piccoli: $$o(o(f))=o(f)$$

o-piccolo di 1

Il simbolo o(1) per $x\rightarrow x_0$ sta a indicare l'insieme di quelle funzioni f(x) che tendono a 0 per $x\rightarrow x_0$, ossia: $$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{1}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=0$$

o-piccoli e sviluppi in serie di Taylor

Riscriviamo alcuni infinitesimi utilizzando le proprietà degli o-piccoli e i sviluppo in serie di Taylor.

Esempio 1

Per $x\rightarrow 0$ abbiamo: $$\begin{eqnarray*} x(\sin x^2)^2 &=& x(x^2+o(x^2)^2) =\\ &=& x(x^4+o(x^4)) =\\ &=& x^5+o(x^5)\end{eqnarray*}$$ dove abbiamo utilizzato lo sviluppo in serie di Mc-Laurin della funzione seno per $x\rightarrow 0$: $$\sin x=x+o(x)$$

Esempio 2

Per $x\rightarrow 0$ abbiamo: $$\begin{eqnarray*} e^{x^2}-\cos x&=& (1+x^2+o(x^2))-\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=\\ &=& 1+x^2+o(x^2)-1+\frac{x^2}{2}-o(x^2)=\\ &=& \frac{3x^2}{2}+o(x^2) \end{eqnarray*}$$ dove abbiamo utilizzato lo sviluppo in serie di Mc-Laurin della funzione esponenziale per $x\rightarrow 0$: $$e^x=1+x+o(x)$$ e lo sviluppo in serie della funzione coseno: $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$$

Esempio 3

Per $k\rightarrow +\infty$ abbiamo: $$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt[5]{1+\frac{1}{k^3}}-1\right)^{\alpha}&=& \bigg[\left(1+\frac{1}{k^3}\right)^{1/5}-1\bigg]^{\alpha}=\\ &=& \left(1+\frac{1}{5k^3}+o\left(\frac{1}{5k^3}\right)-1\right)^{\alpha}=\\ &=& \left(\frac{1}{5k^3}+o\left(\frac{1}{k^3}\right)\right)^{\alpha}=\\ &=& \left(\frac{1}{5k^3}(1+o(1))\right)^{\alpha}=\\ &=& \frac{1}{5^{\alpha}k^{3\alpha}}(1+o(1))^{\alpha} \end{eqnarray*}$$

Osserviamo che si è usato il seguente sviluppo in serie di Mc-Laurin per $x\rightarrow 0$: $$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+o(x)$$

Esempio 4

Per $k\rightarrow +\infty$ abbiamo: $$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{\ln k}{k}\right)^k &=& e^{k\left(1+\frac{\ln k}{k}\right)}=\\ &=& e^{k\left(\frac{\ln k}{k}-\frac{\ln^2 k}{2k^2}+o\left(\frac{\ln^2 k}{2k^2}\right)\right)} =\\ &=& e^{\ln k-\frac{\ln^2 k}{2k}+o\left(\frac{\ln^2 k}{k}\right)} =\\ &=& e^{\ln k}e^{-\frac{\ln^2 k}{2k}+o\left(\frac{\ln^2 k}{k}\right)}=\\ &=& ke^{-\frac{\ln^2 k}{2k}(1+o(1))}\end{eqnarray*}$$

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