Determinanti di matrici

Per ogni matrice quadrata $A$ di ordine $n$ possiamo calcolare un numero chiamato determinante che viene indicato con il simbolo $|A|$. Vedremo, nello specifico, come calcolare il determinate di una matrice di ordine 1,2 e 3.

Determinante di una matrice di ordine 1

Sia $A=(a_{11})$ una matrice quadrata di ordine 1; allora il suo determinante è uguale all'unico elemento che tale matrice possiede:

$$|A|=a_{11}$$

Determinante di una matrice di ordine 2

Se invece $A$ è una matrice quadrata di ordine 2, cioè $$A=\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right)$$ allora, il suo determinante è dato dalla differenza del prodotto tra gli elementi della diagonale principale e quello degli elementi della diagonale secondaria:

$$|A|=\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right|=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$$

Determinante di una matrice di ordine 3

Se $A$ è una matrice quadrata di ordine 3, esistono due regole che ci permettono di calcolare il determinante: regola di Sarrus e regola di Laplace.

Data la matrice $A$ di ordine 3, il suo determinante $$|A|=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|$$ si calcola ricopiando a destra di $|A|$ le prime due colonne di $A$ $$\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}$$ per poi fare la differenza tra la somma dei prodotti degli elementi nelle diagonali in blu e la somma dei prodotti degli elementi nelle diagonali in rosso cosi come mostrato qui sotto:

$|A|=\quad$ $\quad -\quad$

In particolare avremo:

$$\begin{array}{l} |A|&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\\ &+(a_{31}a_{22}a_{13}+a_{32}a_{23}a_{11}+a_{33}a_{21}a_{12})\end{array}$$

Se la matrice $A$ ha un numero considerevole di elementi nulli, risulta più comodo e veloce applicare la regola di Laplace per calcolare il determinante. Prima, però, di enunciare tale regola, abbiamo bisogno di definite alcuni concetti.

Data una matrice $A$ di tipo $m\times n$, dicesi matrice estratta oppure minore di $A$ una qualunque matrice $r\times c$ (con $r\le m$ e $c\le n$) avente come elementi quelli situati all'incrocio delle $r$ righe e delle $c$ colonne.

Esempio di minore di una matrice

Data la seguente matrice,

considerando solo gli elementi della prima e della terza colonna di $A$, otteniamo un minore di tipo $2\times 2$

$$M=\left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{matrix}\right)$$

Data una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ e il minore $M$ di ordine $p<n$, dicesi complemento algebrico dell'elemento di posto $i,j$ ($a_{ij}$) e si denota con $A_{ij}$, il determinante del minore che si ottiene sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna da $A$ preso come segue:

• $+$ se $i+j$ è pari
• $-$ se $i+j$ è dispari

Adesso siamo finalmente in grado di calcolare il determinante di una qualsiasi matrice quadrata di ordine $n$ con il metodo di Laplace.

1. Consideriamo, a piacere, una riga (o una colonna) di $A$ tra le $n$ a disposizione.
2. Moltiplico ciascun elemento $a_{ij}$ appartenente alla riga (o alla colonna) scelta per il corrispondente complemento algebrico $A_{ij}$.
3. Sommo i risultati delle prodotti trovati al passo precedente.

Proprietà dei determinanti

Elenchiamo alcune proprietà che talvolta facilitano e velocizzano il calcolo del determinante di una qualsiasi matrice quadrata $A$ di ordine $n$.

1. Il determinante di una matrice $A$ coincide con il determinate della sua trasposta $A^T$: $$|A|=|A^T|$$
2. Se $A$ ha una riga o una colonna tutta nulla, allora $|A|=0$.

   Ad esempio, il determinate della matrice: $$A=\left(\begin{matrix} -3 & 1/2 & 0\\ -\pi & 0 & 0\\ 3/4 & -5 & 0\end{matrix}\right)$$ è nullo perchè la terza colonna contiene tutti elementi nulli.

3. Se $A'$ è ottenuta da $A$ scambiando due righe (o due colonne), allora $|A'|=-|A|$.

   Ad esempio, data la matrice: $$A=\left(\begin{matrix} -3 & 1/2 & 3\\ -\pi & 0 & -1/2\\ 3/4 & -5 & 2\end{matrix}\right)$$ la matrice $A'$ ottenuta da $A$ scambiando la 1° riga con la 2° $$A'=\left(\begin{matrix} -\pi & 0 & -1/2\\ -3 & 1/2 & 3\\ 3/4 & -5 & 2\end{matrix}\right)$$ è tale che $|A'|=-|A|$.

4. Se $A$ ha due righe (o due colonne) uguali, allora $|A|=0$.

   Ad esempio, il determinate della matrice: $$A=\left(\begin{matrix} -3 & 1/2 & -4\\ -3 & 1/2 & -4\\ 3/4 & -5 & 6\end{matrix}\right)$$ è nullo perchè la 1° e la 2° riga coincidono.

5. $|k\cdot A|=k^n\cdot |A|\quad\forall k\in\mathbb R$. (N.B. $n$ è l'ordine della matrice $A$).
6. Se la matrice $A$ ha una riga (o colonna) multipla di un'altra, allora $|A|=0$.

   Ad esempio, il determinate della matrice: $$A=\left(\begin{matrix} -3 & -6 & -4\\ -3 & -6 & 1\\ 3/4 & 3/2 & 6\end{matrix}\right)$$ è nullo perchè gli elementi della 2° colonna sono il doppio di quelli della 1° colonna.

7. Se $A$ ha una riga (o una colonna) che è combinazione lineare di altre righe (o colonne), allora $|A|=0$.
8. Se $A$ è una matrice triangolare, allora il determinante di $A$ è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale: $$|A|=a_{11}\cdot a_{22}\dots a_{nn}$$
9. Teorema di Binet: Il determinante del prodotto tra due matrici quadrate di ordine $n$ è uguale al prodotto dei determinanti delle singole matrici. $$|A\cdot B|=|A|\cdot |B|\quad\mbox{B matrice di ordine n}$$