Le proprietà delle potenze servono per risolvere espressioni in cui compaiono moltiplicazioni e divisioni tra potenze che richiederebbero la calcolatrice e in generale calcoli più lunghi. In questa lezione vedrai, come calcolare il prodotto tra due potenze come $5^3\cdot 5^4$ oppure come calcolare la divisione tra potenze come, ad esempio, $\frac{2^{5}}{2^3}$. Il tutto senza usare la calcolatrice ma in maniera più veloce utilizzando appunto le proprietà delle potenze.
Te le elenco qui sotto a una a una facendoti degli esempi e in fondo alla pagina le applico per risolvere alcune espressioni.
Un qualsiasi numero diverso da 0, elevato a 0, fa sempre 1
In formule:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^0 = 1\quad \forall a\neq 0}$$
Esempi
$$10^0 = 1$$
$$3^0 = 1$$
$$1998^0 = 1$$
Ti faccio osservare che tale proprietà non è valida se $a=0$ perché $0^0$ in matematica non ha significato, non si può calcolare.
1 elevato a qualsiasi numero è uguale a 1
In formule:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{1^a = 1\quad \forall a}$$
Esempi
$$1^0=1$$
$$1^1 = 1$$
$$1^3 = 1$$
$$1^{2000} = 1$$
Prodotto tra potenze con la stessa base
La moltiplicazione tra due potenze che hanno la stessa base si calcola sommando gli esponenti
In formule
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^x \cdot a^y = a^{x+y}}$$
Esempio
$$5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$$
Divisione tra potenze con la stessa base
La divisione tra due potenze che hanno la stessa base si calcola sottraendo gli esponenti.
In formule:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\cfrac{a^x }{a^y} = a^{x-y}}$$
Esempi
$$\cfrac{2^5}{2^3}= 2^{5-3} = 2^2$$
Prodotto tra potenze con lo stesso esponente
Per moltiplicare due potenze che hanno lo stesso esponente moltiplica le basi mantenendo l'esponente.
In formule:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x}$$
Esempio
$$2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4$$
Divisione tra potenze con lo stesso esponente
Per dividere due potenze che hanno lo stesso esponente dividi le basi mantenendo l'esponente
In formule:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\cfrac{a^x}{b^x} = \left(\cfrac{a}{b}\right)^x}$$
Esempio
$$8^5 / 2^5 = (8 / 2)^5 = 4^5$$
Potenza di potenza
Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti.
In formule:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{(a^x)^y = a^{x \cdot y}}$$
Esempio
$$(7^3)^4 = 7^{3 \cdot 4} = 7^{12}$$
Potenza con esponente negativo
Una potenza con esponente negativo è uguale al reciproco della base elevato all'esponente cambiato di segno
In formule:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^{-x}=\cfrac{1}{a^{x}};\quad\left(\cfrac{a}{b}\right)^{-x}=\left(\cfrac{b}{a}\right)^{x}}$$
Esempi
$$2^{-3}=\cfrac{1}{2^3},$$
$$\left(\cfrac{3}{4}\right)^{-2}=\left(\cfrac{4}{3}\right)^{2}$$
Potenza con esponente frazionario
Una potenza con esponente frazionario del tipo $\frac{m}{n}$ è uguale alla radice di indice $n$ della base elevata a $m$
In formule:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m}$$
Esempio
$$7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7}$$
$$6^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{6^3}$$
Le proprietà delle potenze in sintesi
Qui di seguito trovi uno schema che sintetizza le proprietà delle potenze trattate in questa lezione
Le espressioni con le potenze
In una espressione che contiene potenze le operazioni devono essere svolte in questo ordine:
- elevamento a potenza.
- moltiplicazioni o divisioni.
- somme e sottrazioni.
$\begin{align*}
&(3^4)^2 \cdot 3^7 = 3^{4 \cdot 2} \cdot 3^7 = 3^8 \cdot 3^7 = 3^{8+7}= 3^{15} \\
\\
&2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4 \\
\\
&(5^3)^5 \cdot 2^{15} = 5^{3 \cdot 5} \cdot 2^{15} = 5^{15} \cdot 2^{15} = (5 \cdot 2)^{15} = 10^{15} \\
\\
&12^4 \cdot 4^4 = (12 \cdot 4)^4 = 3^4 \\
\\
&4^2 \cdot 4^0 \cdot 3^1 \cdot 3^3 + 5^0 = 4^2 - 3^2 + 1 = 16 - 9 + 1 = 8\\
\\
&7 \cdot 4 + \left(2^6 \cdot 2^4 \right)^0 - 25^2 \cdot 5^2 + \left(7 \cdot 3 - 5 \cdot 4 \right) \cdot \left(5^3 \cdot 5^2 \right) = 28 + 1 - 5^2 + (27 - 20) \cdot 5 = 28 + 1 - 25 + 5 = 9 \\
\\
&15 \cdot \left[ \left(1^2 \cdot 3^2 \right) \cdot 2^2 \right] - \left[ (1^2)^{27^2} + 7 \cdot 3 - \left(2^0 \cdot 5^4 \right)^0 \right] - 15 \cdot 3^1 \cdot 5^3 =15 \cdot \left[4^2 \cdot 2^2 \right] - 2^4 + 21 - 1 - 27 = 15 \cdot 2^2 - 16 + 21 - 1 - 27 = 60 + 5 - 28 = 32 + 5 = 37\end{align*}$
