Teorema della corda, teorema delle proiezioni, teorema dei seni e dei coseni

Teorema della corda

La misura di una corda di una circonferenza è uguale al prodotto tra la misura del diametro ed il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono su uno dei due archi sottesi dalla corda.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\overline{PQ}=2r\sin\alpha=2r\sin(\pi-\alpha)}$$ teorema della corda

Nella figura soprastante è rappresentata una circonferenza di raggio $r$ e centro $O$ ed è tracciata una sua corda $PQ$. I punti $A$ e $A'$ appartengono rispettivamente all'arco \(\displaystyle \overset{\ \ {\displaystyle \frown}}{PQ}\) maggiore e all'arco \(\displaystyle \overset{\ \ {\displaystyle \frown}}{PQ}\) minore. Osserviamo che gli angoli $\widehat{PAQ}$ e $\widehat{PA'Q}$ sono supplementari (angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza) e pertanto hanno il medesimo seno.

Tracciamo il diametro avente un estremo in $Q$ e sia $R$ il suo secondo estremo. Osserviamo che gli angoli $\widehat{PRQ}$ e $\widehat{PAQ}$ sono congruenti (angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco). Il triangolo $RPQ$, essendo inscritto in una semicirconferenza, è rettangolo in P pertanto per il suo cateto $PQ$ vale la relazione:

$$\overline{PQ}=\overline{QR}\sin\alpha=2r\sin\alpha$$

Ma poichè è anche, come s'è detto:

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\quad\quad$ si ha pure $\quad\quad\overline{PQ}=2r\sin(\pi-\alpha)$

e la tesi risulta dimostrata.

Il teorema dei seni

Mediante il teorema della corda si può dimostrare il teorema dei seni (o di Eulero), che stabilisce una relazione tra gli elementi di un triangolo. Questo afferma che:

In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto;

cioè che, indicati con $A$, $B$ e $C$ i tre vertici di un triangolo, con $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ i tre angoli corrispondenti, e con $a$, $b$ e $c$ le misure dei tre lati rispettivamente opposti agli angoli di vertici $A$, $B$, $C$, si ha:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}}$$ teorema dei seni

Infatti se consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo nella figura soprastante e applichiamo ad ogni lato il teorema della corda, otteniamo:

$$a=2r\sin\alpha,\quad\quad b=2r\sin\beta,\quad\quad c=2r\sin\gamma$$

e quindi:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=2r,\quad\quad\frac{b}{\sin\beta}=2r,\quad\quad\frac{c}{\sin\gamma}=2r$$

Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ha perciò la tesi.

Il teorema delle proiezioni

Ci proponiamo ora di dimostrare che:

In un qualunque triangolo la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti di quelle degli altri due lati per il coseno dell'angolo che ciascuno di questi forma con il primo.

Cioè che tra gli elementi di un qualsiasi triangolo valgono le relazioni:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\begin{array}{l} a=b\cos\gamma+c\cos\beta\\ b=a\cos\gamma+c\cos\alpha\\ c=a\cos\beta+b\cos\alpha\end{array}}$$

È questo il teorema delle proiezioni. Per dimostrarlo consideriamo le due figure qui in basso.

teorema delle proiezioni

Nella prima l'altezza $AH$ del triangolo $ABC$ cade internamente al lato $BC$; si ha pertanto:

$$a=\overline{BH}+\overline{HC}=x\cos\beta+b\cos\gamma$$

Nella seconda l'altezza $AH$ cade esternamente al alto $BC$; in questo caso si ha pertanto:

$$a=\overline{BH}-\overline{CH}=x\cos\beta-b\cos(\pi-\gamma)=c\cos\beta+b\cos\gamma$$

Per il lato $a$ vale dunque, in ogni caso, il teorema delle proiezioni; in modo analogo si dimostra che vale anche per ciascuno degli altri lati.

Teorema del coseno

Come immediata conseguenza del teorema delle proiezioni si ha il seguente teorema, detto del coseno (o di Carnot):

in un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi per il coseno dell'angolo tra essi compreso;

valgono cioè le relazioni:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\begin{array}{l} a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\end{array}}$$

Lo dimostriamo per un lato, ad esempio per $a$.

Consideriamo le tre uguaglianze che esprimono il teorema delle proiezioni per ciascuno dei lati e, seguendo l'ordine nel quale sono state scritte, moltiplichiamo entrambi i membri della prima per $a$, entrambi i membri della seconda per $-b$, entrambi i membri della terza per $-c$:

\begin{array}{c} a^2=ab\cos\gamma+ac\cos\beta\\ -b^2=-ab\cos\gamma-bc\cos\alpha\\ -c^2=-ac\cos\beta-bc\cos\alpha\end{array}

Sommando membro a membro le tre uguaglianze e riducendo i termini simili, si ottiene:

$$a^2-b^2-c^2=-2bc\cos\alpha\quad\quad\mbox{da cui si ricava}\quad\quad a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$

che è quanto volevamo dimostrare.

Vale la pena di osservare che il teorema di Pitagora si può considerare un caso particolare del teorema di Carnot. Infatti, se $\alpha=90^\circ$ è $\cos\alpha=0$ e pertanto per il teorema di Carnot si ha:

$$a^2=b^2+c^2$$

che è appunto la relazione tra ipotenusa e cateti espressa dal teorema di Pitagora.

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