Si definisce serie storica una sequenza di osservazioni, relative a un certo fenomeno, effettuate in $T$ tempi (mesi, anni, ecc.). Per studiare la variazione che subisce l'intensità di un fenomeno in una serie storica da un periodo di tempo ad un altro, si usano i numeri indice.
Ne esistono di 2 tipi:
- numeri indice a base fissa: si calcolano come rapporto tra l'intensità di un fenomeno al tempo $t$ e quella al tempo $b$ (tempo base): $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{I_{t/b}=\frac{x_t}{x_b}\cdot 100\%}$$
- numeri indice a base mobile: si calcolano come rapporto tra l'intensità di un fenomeno al tempo $t$ e quella al tempo $t-1$ (tempo precedente): $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{i_t=\frac{x_t}{x_{t-1}}\cdot 100\%}$$
Inoltre, si può calcolare la variazione percentuale del fenomeno dal tempo $t-1$ al tempo $t$, come il rapporto percentuale tra la variazione assoluta al tempo $t$ e l'intensità al tempo $t-1$: $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{v_t=\frac{x_t-x_{t-1}}{x_{t-1}}\cdot 100\%=\left(\frac{x_t}{x_{t-1}}-1\right)\cdot 100\%=i_t\cdot 100\%-100\%}$$
Esempio
Determina i numeri indice a base fissa (anno 2011) e a base mobile e la variazione percentuale della seguente serie storica delle richieste di cittadinanza:
Calcoliamo dapprima i numeri indice a base fisse (2011): $$\begin{eqnarray} I_{11/11}&=&\frac{x_{11}}{x_{11}}\cdot 100\%=\frac{8931}{8931}\cdot 100\%=100\%\\ I_{12/11}&=&\frac{x_{12}}{x_{11}}\cdot 100\%=\frac{11633}{8931}\cdot 100\%=130.25\%\\ I_{13/11}&=&\frac{x_{13}}{x_{11}}\cdot 100\%=\frac{10780}{8931}\cdot 100\%=120.70\%\\ I_{14/11}&=&\frac{x_{14}}{x_{11}}\cdot 100\%=\frac{13648}{8931}\cdot 100\%=152.82\%\\ I_{15/11}&=&\frac{x_{15}}{x_{11}}\cdot 100\%=\frac{11566}{8931}\cdot 100\%=129.50\%\end{eqnarray}$$ e poi quelli a base mobile: $$\begin{eqnarray} i_{12}&=&\frac{x_{12}}{x_{11}}\cdot 100\%=\frac{11633}{8931}\cdot 100\%=130.25\%\\ i_{13}&=&\frac{x_{13}}{x_{12}}\cdot 100\%=\frac{10780}{11633}\cdot 100\%=92.67\%\\ i_{14}&=&\frac{x_{14}}{x_{13}}\cdot 100\%=\frac{13648}{10780}\cdot 100\%=126.60\%\\ i_{15}&=&\frac{x_{15}}{x_{14}}\cdot 100\%=\frac{11566}{13648}\cdot 100\%=84.75\%\end{eqnarray}$$
Infine le variazioni percentuali: $$\begin{eqnarray} v_{12}&=& i_{12}\cdot 100\%-100\%=30.25\%\\ v_{13}&=& i_{13}\cdot 100\%-100\%=-7.33\%\\ v_{14}&=& i_{14}\cdot 100\%-100\%=26.60\%\\ v_{15}&=& i_{15}\cdot 100\%-100\%=-15.25\%\end{eqnarray}$$
Il tutto è sintetizzato nella seguente tabella:
