Indici di concentrazione

Gli indici di concentrazione, al contrario degli indici di dispersione, si usano in statistica per verificare la presenza di un fenomeno in una distribuzione di dati. Per esempio, ci si può chiedere come la ricchezza è distribuita tra gli individui di una popolazione. Tali indici, quindi, misurano il livello di concentrazione del fenomeno analizzato.

Si dice che una variabile è equidistribuita se ciascun individuo possiede la stessa quantità della media; mentre, si dice la concentrazione è massima se un solo individuo ha tutta la quantità e gli altri nulla.

Diamo qualche notazione che ci farà comodo in seguito per calcolare gli indici. Denotiamo con $x_1,x_2,\dots ,x_n$ l'ammontare del carattere per ciascuna delle $n$ unità statistiche ($i=1,\dots , n$) e supponiamo che siano già ordinati in modo crescente, cioè: $$x_1\le x_2\le \dots \le x_n$$

Denotiamo con $A_i$ l'ammontare del carattere posseduto dalle $i$ unità più povere: $$A_i=x_1+x_2+\dots +x_i=\sum\limits_{j=1}^ix_j$$ e con $A$ l'ammontare totale del carattere di tutte le unità statistiche: $$A=x_1+x_2+\dots +x_n=\sum\limits_{j=1}^nx_j$$

Chiamiamo con $Q_i$ l'ammontare relativo del carattere posseduto dalle $i$ unità più povere e con $P_i$ l'ammontare relativo del carattere posseduto dalle $i$ unità più povere nel caso (ipotetico) di equidistribuzione: $$\begin{eqnarray} Q_i &=& \frac{A_i}{A}\\ P_i &=& \frac{i}{n}\end{eqnarray}$$

Rapporto di concentrazione di Gini

Per avere un indice sintetico si usa l'indice di concentrazione di Gini mediante la seguente formula: $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{G=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1}(P_i-Q_i)}{\sum\limits_{i=1}^{n-1}P_i}=1-\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1}Q_i}{\sum\limits_{i=1}^{n-1}P_i}}$$

L'indice di Gini è sempre compreso tra $0$ (caso di equidistribuzione) e $1$ (caso di massima concentrazione) e cresce al crescere del livello di concentrazione.

Vai all'esempio.

Curva di Lorenz

Un altro strumento che permette di valutare il grado di concentrazione è la curva di Lorenz. Non è altro che un grafico ottenuto unendo con dei segmenti i punti di coordinate $(P_i,Q_i)$, per $i=1,\dots , n$. Maggiore è l'area tra la curva di Lorenz e la bisettrice, maggiore è la concentrazione.

Innanzitutto, calcoliamo gli $A_i,Q_i$ e $P_i$ come dalle formule sopra. Tutti i calcoli vengono riportarti nella seguente tabella.

Guardando la tabella è facile calcolare l'indice di concentrazione di Gini: $$G=1-\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1}Q_i}{\sum\limits_{i=1}^{n-1}P_i}=1-\frac{1.5580}{3}=0.4807$$

Tale indice ci dice che c'è una notevole concentrazione.

Tracciando i punti $(P_i;Q_i)$, unendoli tramite una spezzata e disegnando la bisettrice del primo quadrante (ovvero la retta che congiunge l'origine al punto (1;1)), otteniamo la curva di Lorenz:

Notiamo che l'area di concentrazione è l'area compresa tra la spezzata che unisce i punti $(P_i;Q_i)$ e la bisettrice congiungente i punti $(0;0)$ e $(1;1)$.