In questa lezione ti spiego come e quando una distribuzione di Poisson si può approssimare a una distribuzione normale.
In questo articolo ti ho parlato della distribuzione di Poisson. Vai a ripassarlo prima di cimentarti in questa lettura se te lo sei perso.
Utilizando il famoso teorema del Limite centrale, si dimostra che se X ha distribuzione di Poisson con valore medio $\lambda>10$ , X può essere approssimata da una variabile normale con media e varianza entrambi uguali al parametro $\lambda$ della poissoniana ($\mu=\sigma^2=\lambda$).
Qui sotto ho rappresentato mediante istogramma una distribuzione casuale di Poisson con diversi valori del parametro $\lambda$. Nota come al crescere del valore medio $lambda$ l'istogramma si avvicina sempre più a quello di una normale.
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Questo risultato ci permette di calcolare valori di probabilità in maniera più semplice perché riduce il numero di calcoli come mostra l'esempio in basso.
Correzione di continuità
Poiché la distribuzione normale è una distribuzione continua, per poter approssimare la distribuzione di Poisson(che è discreta) con la normale, bisogna effettuare una correzione di continuità: se $X$ è una variabile aleatoria discreta con distribuzione di Poisson di parametro $\lambda$, la probabilità $P(a\le X\le b)$ che $X$ assuma valori compresi tra $a$ e $b$, viene approssimata con il valore della probabilità che la variabile aleatoria normale $N$ di parametri $\mu=np$ e $\sigma^2=np(1-p)$ assuma valori compresi tra $a-\frac{1}{2}$ e $b+\frac{1}{2}$, in simboli: $$P(a\le X\le b)\simeq P\left(a-\frac{1}{2}\le N\le b+\frac{1}{2}\right)$$
Il numero annuale di terremoti che registrano almeno 2,5 sulla scala Richter e hanno un epicentro entro 40 miglia dal centro di Memphis segue una distribuzione di Poisson con media 12,5. Qual è la probabilità che l'anno prossimo si verifichino almeno 9 terremoti di questo tipo?
Il numero di terremoti si distribuisce come una Poisson di media $\lambda=12,5$. Calcoliamo la probabilità richiesta dapprima facendo uso della funzione di probabilità della Poisson: $$\begin{array}{l}P(X\geq 9)=1-P(X < 9)=\\=1-[P(X=0+P(X=1)+\dots +P(X=8)]=\\=0,8751\end{array}$$
Nota che le probabilità da calcolare sono ben 9 e per sbrigarmi mi sono aiutato con un software statistico matematico. Adesso ti mostro come più facilmente possiamo calcolare questa probabilità ricorrendo all'approssimazione con la normale. Prima di tutto però bisogna applicare la correzione di continuità: $$P(X\geq 9)=P(N\geq 8,5)$$ Adesso bisogna standardizzare e ricorrere all'uso della tavola della distribuzione normale: $$\begin{array}{l}P(N\geq 8,5)=P\left(N\geq\cfrac{8,5-12,5}{\sqrt{12,5}}\right)=\\=P(Z\geq -1,13)=0,8708\end{array}$$
Osserva che il valore approssimato (0,8708) è molto vicino a quello esatto (0,8751) e tale approssimazione migliora all'aumentare del valore medio $\lambda$