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Teorema della bisettrice dell'angolo interno

Teorema della bisettrice dell'angolo interno

La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.
 
Sia $ABC$ un triangolo qualsiasi. Indicato con $D$ il punto di intersezione tra la bisettrice dell'angolo interno $A\hat{C}B$ con il lato opposto $AB$, dimostriamo che $$AD:DB = AC:BC$$; 
 
bisettrice angolo interno
 

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\mbox{IPOTESI:}\quad\begin{array}{l} 1)\ ABC \ \mbox{triangolo qualsiasi}\\ 2) A\hat{C}D \cong D\hat{C}B \end{array}\quad\Rightarrow\quad\mbox{TESI:}\quad\begin{array}{l} AD:DB = AC:BC \end{array}}$$

Conduciamo dal vertice $B$ la parallela alla bisettrice $CD$ finchè essa incontri il prolungamento del lato $AC$ in un punto $E$. Per la costruzione appena eseguita, quindi, le rette passanti per $CD$ e $BE$ saranno parallele e tagliate dalla trasversale $BC$. Gli angoli $D\hat{C}B$ e $C\hat{B}E$ risulteranno così congruenti in quanto angoli alterni interni, cioè $$D\hat{C}B \cong C\hat{B}E$$

In modo analogo, consideriamo le rette parallele passanti per $CD$ e $BE$ tagliate questa volta dalla trasversale $AE$. Questa, allora, determinerà angoli corrispondenti congruenti: cioè $$A\hat{C}D \cong C\hat{E}B$$

Inoltre, poichè $CD$ è bisettrice, si avrà per ipotesi

$$A \hat{C} D \cong D \hat{C}B$$

Confrontando, così, le ultime tre congruenze si avrà anche che

$$C\hat{B}E \cong C\hat{E}B$$

ovvero il triangolo $BCE$ sarà isoscele in quanto ha gli angoli alla base congruenti. In particolare, esso avrà i lati congruenti, cioè

$$BC \cong CE$$

Consideriamo adesso il triangolo $ABE$ tagliato dal segmento $CD$ parallelo al lato $BE$ del triangolo. Per il corollario del Teorema di Talete, sappiamo che la parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due in parti proporzionali, e quindi

$$AD:DB = AC:CE$$

ma, poichè $BC \cong CE$, l'ultima proporzione diventa

$$AD:DB = AC:BC$$

che era quello che si voleva dimostrare.

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