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Martedì, 31 March 2015 16:18

Valore assoluto

Il valore assoluto o modulo di un numero reale $x$ è una funzione che associa ad $x$ un numero reale non negativo e si indica con $|x|$.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{|x|=\begin{cases} x & \mbox{se } x\ge 0\\ -x & \mbox{se } x < 0\end{cases}}$$

Grafico del valore assoluto

In sostanza, il valore assoluto di un numero e il numero stesso considerato senza segno. Ad esempio $|3|=|-3|=3$.

Proprietà del valore assoluto

Supposti $x,y,a\ \in\mathbb R$, il valore assoluto gode delle seguenti proprietà:

  1. $|x|\ge 0$
  2. $|x|=0\ \Leftrightarrow\ x=0$
  3. $|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$
  4. $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},\ y\neq 0$
  5. $|-x|=|x|$
  6. $|x+y|\le |x|+|y|$ (Disuguaglianza triangolare)
  7. $|x-y|=0\ \Leftrightarrow\ x=y$
  8. $|x|\le a\ \Leftrightarrow\ -a\le x\le a$
  9. $|x|\ge a\ \Leftrightarrow\ x\le -a\ \vee\ x\ge a$

Le ultime due proprietà possono essere sfruttate per risolvere alcune disequazioni con valore assoluto del tipo:

$$\begin{array}{c} |x-2|\le 1\ \Leftrightarrow\\ -1\le x-2\le 1\ \Leftrightarrow\\ 1\le x\le 3\end{array}$$

oppure

$$\begin{array}{c} |x+1|>2\ \Leftrightarrow\\ x+1 < -2\ \vee\ x+1 > 2\ \Leftrightarrow\\ x<-3\ \vee\ x > 1\end{array}$$

Funzioni in valore assoluto

Il concetto di valore assoluto di un numero reale può essere esteso al valore assoluto di qualsiasi espressione che dipenda dalla variabile $x$ così:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{|f(x)|=\begin{cases} f(x) & \mbox{se } f(x)\ge 0\\ -f(x) & \mbox{se } f(x) < 0\end{cases}}$$

Per fare un esempio consideriamo $f(x)=2x-1$ e definiamone il suo valore assoluto:

$$|2x-1|=\begin{cases} 2x-1 & \mbox{se } 2x-1\ge 0\\ -(2x-1) & \mbox{se } 2x-1 < 0\end{cases}$$

Essendo $2x-1\ge 0\ \Leftrightarrow\ x\ge\frac{1}{2}$, si ha:

$$|2x-1|=\begin{cases} 2x-1 & \mbox{se } x\ge\frac{1}{2}\\ -2x+1 & \mbox{se } x < \frac{1}{2}\end{cases}$$

Il grafico di tale funzione si ottiene disegnando la retta $y=2x-1$ per $x < \frac{1}{2}$ e la retta $-2x+1$ per $x\ge\frac{1}{2}$ cosi come mostra il grafico qui sotto.

Grafico di esempio di una funzione in valore assoluto