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Martedì, 31 March 2015 16:01

Razionalizzazione di radicali

Razionalizzazione di denominatori composti da un solo radicale

Di seguito vediamo come svolgere l'operazione di razionalizzazione di denominatori di frazioni composti da un solo radicale.

1) $\frac{3}{\sqrt{27}}=\frac{3}{\sqrt{27}}\cdot\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{27}}=\frac{3\sqrt{27}}{27}=\frac{\sqrt{27}}{9}=\frac{\sqrt{3^3}}{9}=\frac{\sqrt{3^2\cdot 3}}{9}=\frac{3\sqrt{3}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

2) $\frac{20}{\sqrt{10}}=\frac{20}{\sqrt{10}}\cdot\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{20\sqrt{10}}{10}=2\sqrt{10}$

3) $\frac{6}{\sqrt{8}}=\frac{6}{\sqrt{8}}\cdot\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}=\frac{6\sqrt{8}}{8}=\frac{3\sqrt{8}}{4}$

4) $\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{8}$

5) $\frac{3+\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}+3}{5\cdot 3}=\frac{3(\sqrt{3}+1)}{5\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}+1}{5}$

6) $\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x}$

7) $\frac{2x}{\sqrt{xy}}=\frac{2x}{\sqrt{xy}}\cdot\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=\frac{2x\sqrt{xy}}{xy}=\frac{2\sqrt{xy}}{y}$

8) $\frac{ab^2}{\sqrt{abx}}=\frac{ab^2}{\sqrt{abx}}\cdot\frac{\sqrt{abx}}{\sqrt{abx}}=\frac{ab^2\sqrt{abx}}{abx}=\frac{b\sqrt{abx}}{x}$

9) $\frac{2x^2y}{\sqrt{x^3y}}=\frac{2x^2y}{\sqrt{x^3y}}\cdot\frac{\sqrt{x^3y}}{\sqrt{x^3y}}=\frac{2x^2y\sqrt{x^3y}}{x^3y}=\frac{2\sqrt{x^3y}}{x}$

10) $\frac{2a+2}{\sqrt{2ax}}=\frac{2a+2}{\sqrt{2ax}}\cdot\frac{\sqrt{2ax}}{\sqrt{2ax}}=\frac{(2a+2)\sqrt{2ax}}{2ax}=\frac{\cancel{2}(a+1)\sqrt{2ax}}{\cancel{2}ax}=\frac{(a+1)\sqrt{2ax}}{ax}$

Razionalizzazioni di radici con indice superiore a 2

1) $\frac{4}{\sqrt[3]{4}}=\frac{4}{\sqrt[3]{4}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4^2}}=\frac{4\sqrt[3]{4^2}}{4}=\sqrt[3]{(2^2)^2}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{2^3\cdot 2}=2\sqrt[3]{2}$

2) $\frac{2}{\sqrt[3]{6}}=\frac{2}{\sqrt[3]{6}}\cdot\frac{\sqrt[3]{6^2}}{\sqrt[3]{6^2}}=\frac{2\sqrt[3]{6^2}}{6}=\frac{\sqrt[3]{36}}{3}$

3) $\frac{12}{\sqrt[5]{8}}=\frac{12}{\sqrt[5]{2^3}}\cdot\frac{\sqrt[5]{2^2}}{\sqrt[5]{2^2}}=\frac{12\sqrt[5]{2^2}}{2}=6\sqrt[5]{4}$

4) $\frac{2x}{\sqrt[4]{x}}=\frac{2x}{\sqrt[4]{x}}\cdot\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[4]{x^3}}=\frac{2x\sqrt[4]{x^3}}{x}=2\sqrt[4]{x^3}$

5) $\frac{4x^2y}{\sqrt[7]{8x^5y^2}}=\frac{4x^2y}{\sqrt[7]{2^3x^5y^2}}\cdot\frac{\sqrt[7]{2^4x^2y^5}}{\sqrt[7]{2^4x^2y^5}}=\frac{4x^2y\sqrt[7]{2^4x^2y^5}}{2xy}=2x\sqrt[7]{16x^2y^5}$

Razionalizzazioni di denominatori che sono somme algebriche di due termini

Per razionalizzare questi tipi di denominatori, ricordiamo che dobbiamo far apparire al denominatore la differenza di quadrati $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

1) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$

2) $\frac{5}{\sqrt{6}-1}=\frac{5}{\sqrt{6}-1}\cdot\frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}+1}=\frac{5\left(\sqrt{6}+1\right)}{6-1}=\frac{5\left(\sqrt{6}+1\right)}{5}=\sqrt{6}+1$

3) $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{3\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{5-2}=\frac{3\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{3}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$

4) $\frac{x-1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{x-1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(x-1)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{x-y}$

5) $\frac{\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}b}=\frac{\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}b}\cdot\frac{a+\sqrt{a}b}{a+\sqrt{a}b}=\frac{\sqrt{a}\left(a+\sqrt{a}b\right)}{a^2-ab^2}=\frac{a\sqrt{a}+ab}{a^2-ab^2}=\frac{a\left(\sqrt{a}+b\right)}{a(a-b^2)}=\frac{\sqrt{a}+b}{a-b^2}$

6) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}{1}=3+2-2\sqrt{2}\sqrt{3}=5-2\sqrt{6}$

Consulta altri esercizi svolti sui radicali

Martedì, 31 March 2015 15:57

Semplificazioni di radicali

Semplificazione e campo di esistenza dei radicali

In questa pagina ci eserciteremo su come semplificare il più possibile un radicale riducendone l'indice e l'esponente del radicando. Fatto ciò, determineremo le condizioni di esistenza del radicale semplificato.

$\begin{array}{l} \sqrt[6]{27a^9b^6c^6}=\sqrt[6]{3^3a^9b^6c^6}=\sqrt[2]{3a^3b^2c^2}\\ \mbox{C.E.: } a>0\quad \mbox{(essendo l'unico termine dentro la radice con esponente dispari)}\end{array}$

$\begin{array}{l}\sqrt[4]{\frac{9(3x-1)^2}{4}}=\sqrt[4]{\frac{3^2(3x-1)^2}{2^2}}=\sqrt[2]{\frac{3|3x-1|}{2}}\\ \mbox{C.E.: } \forall x\in\mathbb R\quad \mbox{(poichè tutti i termini dentro la radice sono non negativi)}\end{array}$

$\begin{array}{l}\sqrt[4]{\frac{a^4-18a^2+81}{a^4}}=\sqrt[4]{\frac{(a^2-9)^2}{a^4}}=\sqrt[2]{\frac{3|a^2-9|}{a^2}}\\ \mbox{C.E.: } a\neq 0\quad \mbox{(poichè il denominatore di una frazione deve essere non nullo)}\end{array}$

Consulta altri esercizi svolti sui radicali

Martedì, 31 March 2015 15:51

Moltiplicazioni e divisioni tra radicali

Espressioni algebriche con moltiplicazioni e divisioni fra radicali

In questo articolo elenchiamo una lista di esercizi svolti sul calcolo di prodotti e divisioni tra radicali con lo stesso indice e radicali con indice diverso. Per approfondire l'argomento vai in questa pagina.

Prodotti e divisioni tra radicali con lo stesso indice

$\mbox{1) }\sqrt[6]{\frac{27}{x^4}}\cdot\sqrt[6]{\frac{xy^5}{8}}\cdot\sqrt[6]{\frac{1}{y^2}}=\sqrt[6]{\frac{27}{x^4}\frac{xy^5}{8}\frac{1}{y^2}}=\sqrt[6]{\frac{27y^3}{8x^3}}=\sqrt[6]{\frac{3^3y^3}{2^3x^3}}=\sqrt{\frac{3y}{2x}}$;

Nell'ultimo passaggio siamo passati dalla radice sesta alla radice quadrata dividendo sia l'indice che l'esponente del radicando (l'esponente 3 è comune a tutti i termini presenti nel radicando), per 3.

$\mbox{2) } \sqrt{9}:\sqrt{3}=\sqrt{9:3}=\sqrt{3}$

$\mbox{3) } \sqrt{x^3}:\sqrt{\frac{x^2}{y}}=\sqrt{x^3:\frac{x^2}{y}}=\sqrt{x^3:\frac{y}{x^2}}=\sqrt{xy}$

Prodotti e divisioni tra radicali con indice diverso

$\mbox{1) } \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{\frac{x^5}{y^4}}}=\frac{\sqrt[4]{x^2}}{\sqrt[4]{\frac{x^5}{y^4}}}=\sqrt[4]{\frac{x^2}{\frac{x^5}{y^4}}}=\sqrt[4]{x^2\cdot\frac{y^4}{x^5}}=\sqrt[4]{\frac{y^4}{x^3}}$

$\mbox{2) } \sqrt[3]{\frac{9b}{10a}}\cdot\sqrt[6]{\frac{4a^2}{81b}}\cdot\sqrt[2]{\frac{3a}{2b^2}}=\sqrt[6]{\left(\frac{9b}{10a}\right)^2}\cdot\sqrt[6]{\frac{4a^2}{81b}}\cdot\sqrt[6]{\left(\frac{3a}{2b^2}\right)^3}=\sqrt[6]{\frac{81b^2}{100a^2}\cdot\frac{4a^2}{81b}\cdot\frac{27a^3}{8b^6}}=\sqrt[6]{\frac{27a^3}{200b^5}}$

$\mbox{3) }\sqrt[3]{a}:\sqrt[12]{\frac{a^3}{b^2}}=\sqrt[12]{a^4}:\sqrt[12]{\frac{a^3}{b^2}}=\sqrt[12]{a^4:\frac{a^3}{b^2}}=\sqrt[12]{a^4\cdot\frac{b^2}{a^3}}=\sqrt[12]{ab^2}$

$\begin{array}{l} \mbox{4) } \sqrt{x-\frac{9}{x}}:\sqrt[3]{\frac{x+3}{2x}}&=\sqrt[6]{\left(x-\frac{9}{x}\right)^3}:\sqrt[6]{\left(\frac{x+3}{2x}\right)^2}=\sqrt[6]{\left(\frac{x^2-9}{x}\right)^3:\left(\frac{x+3}{2x}\right)^2}=\sqrt[6]{\frac{(x^2-9)^3}{x^3}\cdot\frac{(2x)^2}{(x+3)^2}}=\\ &=\sqrt[6]{\frac{[(x-3)(x+3)]^3}{x^3}\cdot\frac{4x^2}{(x+3)^2}}=\sqrt[6]{\frac{(x-3)^3(x+3)^3}{x}\cdot\frac{4}{(x+3)^2}}=\sqrt[6]{\frac{4(x-3)^3(x+3)}{x}}\end{array}$

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Martedì, 31 March 2015 15:22

Somma e differenza tra radicali

Espressioni algebriche con somme e differenze fra radicali

Vediamo come eseguire correttamente le operazioni di somma e differenza tra radicali simili. Per approfondire l'argomento vai in questa pagina.

$\mbox{1) }3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-7\sqrt{2}=(3+5-7)\sqrt{2}=\sqrt{2}$;

$\mbox{2) }2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}$;

$\mbox{3) }6\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3}+2\sqrt[3]{3}=(6-1+2)\sqrt[3]{3}=7\sqrt[3]{3}$;

$\begin{array}{l} \mbox{4) }11\sqrt{5}+6\sqrt{2}-\left(8\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)&=11\sqrt{5}+6\sqrt{2}-8\sqrt{5}-3\sqrt{2}=\\ &=(11-8)\sqrt{5}+(6-3)\sqrt{2}=3\sqrt{5}+3\sqrt{2}=\\ &=3\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\end{array}$

Nel seguente esercizio è necessario entrare dentro il coefficiente $a^2$ nel secondo e terzo radicale, in modo da poter poi raggruppare per il radicale simile $\sqrt{a^5}$.

$\mbox{5) }\sqrt{a^5}-3a^2\sqrt{a}+2a^2\sqrt{a}=\sqrt{a^5}-3\sqrt{a^5}+2\sqrt{a^5}=(1-3+2)\sqrt{a^5}=0$

$\begin{array}{l} \mbox{6) }2\sqrt{x}-\frac{2}{3}\sqrt{x}+\sqrt{y}-\frac{7}{3}\sqrt{x}&=\left(2-\frac{2}{3}-\frac{7}{3}\right)\sqrt{x}+\sqrt{y}=\\ &=\frac{6-2-7}{3}\sqrt{x}+\sqrt{y}=\\ &=-\sqrt{x}+\sqrt{y}\end{array}$

Consulta altri esercizi svolti sui radicali

Martedì, 31 March 2015 15:15

Radici algebriche

Esaminiamo il seguente problema: qual è il numero positivo che elevato al quadrato dà 9?

Consideriamo di nuovo lo stesso problema, però nel campo dei numeri reali relativi.

Quali sono, se esistono, i numeri reali relativi che elavati al quadrato danno 9?

Un numero è senz'altro 3, ma non è il solo; infatti anche -3 è soluzione del problema, perchè $(-3)^2=9$.

I due numeri reali opposti, +3 e -3, si chiamano radici algebriche.

In generale,

dato il numero naturale $n\neq 0$, e un numero reale a, si chiamano radici algebriche n-esime del numero a tutti i numeri reali la cui potenza con esponente n è uguale ad a. Indichiamo ognuna di esse col simbolo $\stackrel{alg}{\sqrt[n]{a}}$

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[n]{a}=b\quad\Leftrightarrow\quad b^n=a\quad\quad (n\neq0,\ a,b\in\mathbb R)}$$

Calcolo radici algebriche

  1. La radice aritmetica $\sqrt[4]{16}$ è soltanto 2, ossia $\sqrt[4]{16}=+2$. Invece $\stackrel{alg}{\sqrt[4]{16}}=\pm 2$, perchè $(+2)^4=16$ e $(-2)^4=16$.
  2. La radice aritmetica $\sqrt[3]{-125}$ non esiste perchè nessun numero positivo elevato a esponente 3 può dare come risultato un numero negativo. Invece $\stackrel{alg}{\sqrt[3]{-125}}=-5$, perchè $(-5)^3=-125$.

Nel campo dei numeri reali, la radice algebrica:

  • se l'esponente è pari, può assumere due valori, uno oppure nessuno, a seconda che il radicando sia maggiore, uguale o minore di 0;
  • se l'esponente è dispari, assume sempre un solo valore.

Calcolo radici algebriche con esponente pari

  1. $\stackrel{alg}{\sqrt[2]{4}}=\pm 2$.
  2. $\stackrel{alg}{\sqrt[4]{0}}=0$.
  3. $\stackrel{alg}{\sqrt[2]{-4}}$ non esiste in $\mathbb R$.

Calcolo radici algebriche con esponente dispari

  1. $\stackrel{alg}{\sqrt[3]{-8}}=-2$.

Il seguente diagramma fornisce una sintesi delle radici n-esime algebriche di un numero reale a.

Radici algebriche ennesime di un numero reale

Martedì, 31 March 2015 15:12

Potenze con esponente razionale

E&grave possibile scrivere i radicali in una forma diversa, che permette di estendere il concetto di potenza al caso in cui l'esponente è un numero razionale.

Potenza con esponente razionale: La potenza con esponente frazionario $\frac{m}{n}$ di un numero reale a, positivo o nullo, è la radice aritmentica n-esima di $a^m$.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\quad (a\ge 0)}$$

Esempi di calcolo di potenze con esponente frazionario

  1. $1^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{1}=1$.
  2. $0^{\frac{3}{2}}=\sqrt{0^3}=0$.
  3. $5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}$.
  4. $2^{-\frac{4}{5}}=\sqrt[5]{2^{-4}}=\sqrt[5]{\left(\frac{1}{2}\right)^4}=\sqrt[5]{\frac{1}{16}}$.
  5. La scrittura $(-4)^{\frac{1}{2}}$ non ha significato, perchè nella definizione sono escluse le potenze di numeri negativi.

Per le potenze con esponente razionale valgono le proprietà delle potenze con esponente intero.

Nelle espressioni irrazionali, invece di operare con i radicali, possiamo operare con le potenze.

Martedì, 31 March 2015 15:08

Radicali quadratici doppi

Si chiama radicale quadratico doppio un'espressione del tipo:

$$\sqrt{a+\sqrt{b}}$$

Un radicale doppio può essere trasformato nella somma o nella differenza di due radicali semplici solo quando l'espressione $a^2-b$ è il quadrato di un numero razionale o di una espressione che non contiene radicali.

In tal caso valgono le due uguaglianze che consideriamo di seguito:

$$\begin{array}{l} \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\\ \sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\end{array}$$

Esempio trasformazione radicale doppio in radicale semplice

Trasformiamo il radicale doppio $$\sqrt{8-\sqrt{15}}$$ nella differenza fra due radicali semplici.

Ciò è possibile poichè:

$\begin{array}{l} 8^2-15=64-15=49=7^2\\ \sqrt{8-\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{8+\sqrt{49}}{2}}-\sqrt{\frac{8-\sqrt{49}}{2}}=\sqrt{\frac{8+7}{2}}-\sqrt{\frac{8-7}{2}}=\\ =\sqrt{\frac{15}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}-1}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{15}-1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{30}-\sqrt{2}}{2}\end{array}$.

Martedì, 31 March 2015 15:04

La razionalizzazione

Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in una equivalente che non ha radicali a denominatore. Ciò risulta utile, per esempio, nella somma di frazioni.

Per razionalizzare il denominatore di una frazione si applica la proprietà invariantiva delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da 0.

Esaminiamo i casi più comuni.

Il denominatore è un unico reale

Se il denominatore contiene un radicale quadratico, basta moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale stesso.

$$\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{6\cdot\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$

Il risultato $3\sqrt{2}$ non contiene radicali al denominatore.

In generale, supposto $a>0$, se il radicale al denominatore non è quadratico, si razionalizza nel seguente modo:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^m}\sqrt[n]{a^{n-m}}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{m+(n-m)}}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^n}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}}$$

Razionalizzazione di un denominatore con radicale non quadratico

$\frac{21}{\sqrt[5]{49}}=\frac{21}{\sqrt[5]{7^2}}=\frac{21}{\sqrt[5]{7^2}}\cdot\frac{\sqrt[5]{7^3}}{\sqrt[5]{7^3}}=\frac{21\cdot\sqrt[5]{7^3}}{7}=3\sqrt[5]{7^3}$.

Il denominatore è la somma o la differenza di due termini, dei quali almeno uno è un radicale quadratico

Razionalizziamo la seguente frazione:

$$\frac{8}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$$

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la differenza $\sqrt{7}-\sqrt{2}$, in modo da applicare il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$\frac{8}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}=\frac{8(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{8(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{7-2}=\frac{8(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}$.

Se al denominatore ci fosse stata una differenza, avremmo moltiplicato per la somma.

Consulta altri esercizi svolti sui radicali

Martedì, 31 March 2015 14:54

Operazioni con i radicali

Moltiplicazione e divisione fra radicali

Si possono moltiplicare due o più Radicali aritmetici se questi hanno lo stesso indice. Vale infatti il seguente teorema.

Teorema del prodotto: il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi, ossia

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}}$$

con a e b reali, $a\ge 0$, $b\ge 0$ e n naturale, $n\neq 0$.

In particolare, il prodotto di un radicale quadratico per se stesso ha come risultato il radicando.

Moltiplicazione tra radicali con lo stesso indice

  1. $\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{2\cdot 5}=\sqrt[4]{10}$
  2. $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3^2}=3$

Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli è necessario ridurli al loro minimo comune indice.

Moltiplicazione tra radicali con indice diverso

  1. $\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{2^3\cdot 5^2}=\sqrt[6]{8\cdot 25}=\sqrt[6]{200}$
  2. $\sqrt[5]{a}\cdot\sqrt[6]{a^2\cdot b}=\sqrt[30]{a^6}\cdot \sqrt[30]{(a^2\cdot b)^5}=\sqrt[30]{a^6\cdot a^{10}\cdot b^5}=\sqrt[30]{a^{16}\cdot b^5}$.

Il teorema del prodotto afferma pure che un radicale il cui radicando è scomposto in fattori non negativi è uguale al prodotto di più radicali con lo stesso indice che hanno per radicandi i diversi fattori

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$

Questo ci permette di trasportare fuori dal segno di radice i fattori del radicando che hanno come esponente un multiplo di n.

Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

  1. $\sqrt[3]{a^9\cdot b^2}=\sqrt[3]{a^9}\cdot \sqrt[3]{b^2}=a^3\cdot\sqrt[3]{b^2}$
  2. $\sqrt[3]{a^13}=\sqrt[3]{a^12\cdot a}=\sqrt[3]{a^12}\cdot\sqrt[3]{a}=a^4\cdot\sqrt[3]{a}$.

Quando si vuol portar fuori radice un fattore di cui non si conosce il segno, si scrive tale fattore in valore assoluto!

Trasporto di un fattore incognito fuori dal segno di radice

$\sqrt{2\cdot (a-b)^2}=|a-b|\cdot\sqrt{2}$

Divisione fra radicali

Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a: b}}$$

con a e b reali, $a\ge 0$, $b> 0$ e n naturale, $n\neq 0$.

Anche per le divisioni valgono le stesse considerazioni analoghe a quelle fatte per le moltiplicazioni.

Esempio di divisione fra radicali

  1. $\sqrt[5]{8}:\sqrt[5]{2}=\sqrt[5]{8:2}=\sqrt[5]{4}$
  2. $\sqrt[3]{a}:\sqrt[4]{b}=\sqrt[12]{a^4}:\sqrt[12]{b^3}=\sqrt[12]{\frac{a^4}{b^3}}=3$

La potenza e la radice di un radicale

La potenza m-esima di un radicale è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza m-esima del radicando, ossia

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}}$$

con n e m naturali, $n\neq 0$, $m\neq 0$ e a reale, $a\ge 0$.

Calcolo potenze di radicali

  1. $\left(\sqrt[5]{3}\right)^4=\sqrt[5]{3^4}=\sqrt[5]{81}$
  2. $\left(\sqrt[4]{a^3}\right)^5=\sqrt[4]{(a^3)^5}=\sqrt[4]{a^{15}}=a^3\cdot\sqrt[4]{a^3}.$

La radice m-esima di un radicale di indice n è un radicale che ha per indice il prodotto degli indici $m\cdot n$ e per radicando lo stesso radicando.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}}$$

con n e m naturali, $n\neq 0$, $m\neq 0$ e a reale, $a\ge 0$.

Pertanto è possibile scambiare gli indici delle radici. Ciò può rendere più immediata la semplificazione di un radicale.

Calcolo radici di radicali

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^3}}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^3}}=\sqrt[4]{a}$

Il trasporto di un fattore dentro al segno di radice

Dato il radicale $3\cdot\sqrt[4]{5}$, è possibile portare il fattore 3 sotto il segno di radice, tenendo presente che $3=\sqrt[4]{3^4}$:

$3\cdot\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{3^4}\cdot\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{3^4\cdot 5}$

In generale, se $a\ge 0$

$$a\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n\cdot b}$$

cioè per trasportare dentro radice un fattore non negativo occorre elevarlo all'indice del radicale.

Esempi su come entrare un fattore dentro radice

  1. $2\cdot\sqrt[3]{7}=\sqrt[3]{2^3\cdot 7}=\sqrt[3]{56}.$
  2. $3a^2\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{(3a^2)^3b}=\sqrt[3]{27a^6b}.$

Possiamo portare dentro radice $(3a^2)^3$, perchè è sempre $3a^2\ge 0$.

Osservazione: i fattori negativi non vengono portati dentro la radice; il segno meno resta fuori e viene portato dentro il valore assoluto:

$-3\sqrt{5}=-\sqrt{9\cdot 5}=-\sqrt{45}$.

Addizione e sottrazione di radicali

Non è sempre possibile semplificare espressioni che contengono somme di radicali.

  1. $\sqrt{4}+\sqrt{9}\neq\sqrt{4+9}!\quad \mbox{infatti}\quad \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5\neq\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
  2. $\sqrt{9}-\sqrt{4}\neq\sqrt{9-4}!\quad \mbox{infatti}\quad \sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1\neq\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$

In generale, dunque:

$$\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$$ $$\sqrt{a}-\sqrt{b}\neq\sqrt{a-b}$$

Però, date le due espressioni $2\cdot\sqrt{3}$ e $5\cdot\sqrt{3}$, (in analogia con quanto si farebbe con i monomi 2a e 5a, pensando $a=\sqrt{3}$) si può eseguire l'addizione o la sottrazione raccogliendo a fattore comune $\sqrt{3}$:

$\begin{array}{l} 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=\sqrt{3}(2+5)=7\sqrt{3}\\ 2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-3\sqrt{3}\end{array}$

Due radicali irriducibili si dicono simili quando hanno lo stesso indice, lo stesso radicando e possono essere diversi solo per il fattore che li moltiplica, detto coefficiente del radicale.

Radicali simili

$9\cdot\sqrt[5]{2}$ e $7\cdot\sqrt[5]{2}$ sono simili, perchè i due radicali hanno lo stesso indice 5 e lo stesso radicando 2.

A volte due radicali possono essere trasformati in radicali simili portando fuori dalla radice alcuni fattori.

I radicali $b^2\cdot\sqrt{b^3}$ e $\sqrt{b^5}$ non sono simili. Portiamo fuori radice i fattori: $$\begin{array}{l} b^2\cdot\sqrt{b^3}=b^2\cdot b\cdot\sqrt{b}=b^3\sqrt{b}\\ \sqrt{b^5}=b^2\cdot\sqrt{b}\end{array}$$ I radicali ottenuti $b^3\sqrt{b}$ e $b^2\cdot\sqrt{b}$ sono simili.

La somma algebrica di due o più radicali simili è un radicale, simele ai dati, che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

Somma algebrica di radicali simili

Esempi sulle somme algebriche di radicali

  1. $4\sqrt[3]{a}+2\sqrt[3]{a}=5\sqrt[3]{a}.$
  2. $a\sqrt{2}+\sqrt{2}=(a+1)\sqrt{2}.$

Vai agli esercizi svolti sui radicali

Martedì, 31 March 2015 14:18

I radicali aritmetici

Consideriamo l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato, ossia la radice quadrata.

La radice quadrata aritmetica di un numero razionale positivo o nullo è quel numero , positivo o nullo, che, elevato al quadrato, dà come risultato il numero dato.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt{a}=b\quad\mbox{se}\quad a=b^2\quad\quad (a\ge 0,\ b\ge 0)}$$

La radice quadrata si indica con il simbolo $\sqrt{}$

Esempi di calcolo di radici quadrate

  1. $\sqrt{9}=3$ perchè $3^2=9$;
  2. $\sqrt{0}=0$ perchè $0^2=0$;
  3. $\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$ perchè $\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25}$.

L'operazione di radice non è una operazione interna in $\mathbb Q$. Per esempio, 2 non ha per radice quadrata un numero razionale (cioè $\sqrt{2}$ non è un numero razionale e quindi $\sqrt{2}\not\in\mathbb Q$).

Da qui l'esigenza di ampliare l'insieme dei numeri razionali $\mathbb Q$ all'insieme dei numeri reali $\mathbb R$.

Chiamiamo numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non periodico.

Chiamiamo numero reale ogni numero razionale o irrazionale.

In sostanza, per ampliare l'insieme dei numeri razionali, consideriamo un nuovo insieme, quello dei numeri reali, che è l'unione dell'insieme dei numeri razionali e di quello degli irrazionali come si può vedere dall'immagine seguente.

I numeri reali

Abbiamo visto che la radice quadrata è l'inversa della potenza con esponente 2. Allo stesso modo possiamo parlare di radice cubica come operazione inversa della potenza con esponente 3, e così via. In generale, la radice n-esima (leggi "ennesima") è l'operazione inversa della potenza di esponente n.

Dato un numero naturale $n\neq 0$ e un numero reale a, positivo o nullo, la radice aritmetica n-esima di a è quel numero reale b, positivo o nullo, la cui potenza con esponente n è uguale ad a.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[n]{a}=b\quad\Leftrightarrow\quad a=b^n\quad\quad (a\ge 0,\ b\ge 0)}$$

Proprietà dei radicali

Per ogni n,m naturale diverso da 0 e per ogni a e b reali non negativi, valgono le seguenti proprietà

  1. $\sqrt[1]{a}=a$ (infatti $a^1=a$)
  2. $\sqrt[n]{0}=0$ (infatti $0^n=0$)
  3. $\sqrt[n]{1}=1$ (infatti $1^n=1$)
  4. $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=\sqrt[n]{a^n}=a$
  5. $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$
  6. $\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}\quad b\neq 0$
  7. $\sqrt[0]{a}$ non ha significato.

Terminologia sui radicali aritmetici

Il simbolo $\sqrt[n]{a}$ viene chiamato radicale aritmetico, o semplicemente, radicale.

Il numero n viene detto indice del radicale, il numero a si chiama radicando. Se il radicando è scritto sotto forma di potenza, l'esponente di tale potenza si chiama esponente del radicando.

Elementi di un radicale aritmetico

Proprietà invariantiva dei radicali

Dati due numeri reali a e b, non negativi, e un numero naturale n diverso da 0, se a e b sono uguali, sono uguali anche le loro potenze n-esime e viceversa.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{a=b\quad\Leftrightarrow\quad a^n=b^n\quad\quad (a\ge 0,\ b\ge 0\ n\neq 0)}$$

Enunciamo adesso la proprietà invariantiva:

Dato un radicale aritmetico, si può ottenere un radicale equivalente moltiplicando per uno stesso numero naturale (diverso da 0) sia l'indice del radicale sia l'esponente del radicando.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}}$$

La semplificazione di radicali

Per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza, possiamo anche scrivere:

$\sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}=\sqrt[n]{a^m}$

Dato cioè un radicale aritmetico, si ottiene un radicale equivalente dividendo l'indice della radice e l'esponente del radicando per un divisore comune.

In questo caso si dice che si è semplificato il radicale.

Semplifichiamo i seguenti radicali:

  1. $\sqrt[9]{5^6}=\sqrt[9:3]{5^{6:3}}=\sqrt[3]{5^2}$
  2. $\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[6:2]{a^{4:2}}=\sqrt[3]{a^2}$
  3. $\sqrt{7^4}=\sqrt[2:2]{7^{4:2}}=\sqrt[1]{7^2}=7^2=49$

Non è sempre possibile semplificare un radicale. Per esempio, il radicale $\sqrt[5]{a^2}$ non si può semplificare, perchè 5 e 2 non hanno divisori comuni, tranne l'unità.

Un radicale si dice irriducibile (cioè non semplificabile) quando il suo indice e l'esponente del radicando sono primi fra loro.

Per semplificare un radicale e renderlo irriducibile, occorre:

  1. cercare il M.C.D. fra indice ed esponente del radicando;
  2. dividere l'indice e l'esponente per il loro M.C.D.

Rendiamo irriducibile il radicale $$\sqrt[20]{7^{12}}$$

  1. M.C.D.(20,12)=4;
  2. dividiamo per 4 l'indice e l'esponente del radicando: $$\sqrt[20]{7^{12}}=\sqrt[20:4]{7^{12:4}}=\sqrt[5]{7^3}$$

Dati a e b non negativi, il radicale $\sqrt[6]{(ab^2)^4}$ può essere reso irriducibile, perchè 6 e 4 non sono primi fra loro.

  1. M.C.D.(6,4)=2;
  2. dividiamo per 2 indice ed esponente del radicando: $$\sqrt[6]{(ab^2)^4}=\sqrt[6:2]{(ab^2)^{4:2}}=\sqrt[3]{(ab^2)^2}=\sqrt[3]{a^2b^4}$$

La semplificazione e il valore assoluto

Per semplificare il radicale aritmetico $\sqrt[8]{(-5)^{12}}$ non possiamo scrivere

$\sqrt[8]{(-5)^{12}}=\sqrt[2\cdot 4]{(-5)^{3\cdot 4}}=\sqrt[2]{(-5)^{3}}$

perchè $(-5)^3$ è negativo, perciò l'espressione ottenuta non è un radicale aritmetico.

Tuttavia la semplificazione è possibile perchè l'esponente del radicando è pari e quindi possiamo considerare -5 in valore assoluto.

$\sqrt[2\cdot 4]{(-5)^{3\cdot 4}}=\sqrt[2\cdot 4]{|-5|^{3\cdot 4}}=\sqrt[2]{|-5|^{3}}$

In generale, risulta:

$$\sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}=\sqrt[n]{|a|^m}\quad\mbox{se}\ a<0\ \ \mbox{e}\ \ m\cdot p\ \ \mbox{è pari}$$

La riduzione di radicali allo stesso indice

Applicando la proprietà invariantiva, si possono trasformare due o più radicali in altri che hanno lo stesso indice. In particolare si può ridurli a radicali che abbiano il minimo comune indice.

I passaggi necessari sono 2:

  1. cercare il m.c.m. fra gli indici;
  2. trasformare ogni radicale in uno equivalente, che ha per indice il m.c.m. trovato.

Riduciamo al minimo comune indice i seguenti radicali:

  1. $\sqrt[5]{2a^2};\quad \sqrt[4]{a^3}$
  2. $\sqrt[3]{a-1};\quad \sqrt[6]{a^2-1}$

Risolviamo la 1):

  1. m.c.m.(5,4)=20;
  2. eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l'indice; nel nostro caso, 20:5=4 e 20:4=5. $$\begin{array}{l} \sqrt[5]{2a^2}=\sqrt[5\cdot 4]{(2a^2)^4}=\sqrt[20]{16a^8}\\ \sqrt[4]{a^3}=\sqrt[4\cdot 5]{(a^3)^5}=\sqrt[20]{a^{15}}\end{array}.$$

Risolviamo la 2):

  1. m.c.m.(3,6)=6;
  2. $$\begin{array}{l} \sqrt[3]{a-1}=\sqrt[3\cdot 2]{(a-1)^2}=\sqrt[6]{a^2-2a+1}\\ \sqrt[6]{a^2-1}\quad\mbox{è già ridotto}\end{array}.$$