Si definisce cilindro un solido ottenuto dalla rotazione di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati: il lato attorno a cui avviene la rotazione è chiamato altezza, mentre l'altro lato è detto raggio.
In figura, notiamo che, le basi di un cilindro sono due cerchi congruenti e paralleli tra loro.
Un cilindro si dice equilatero se l'altezza coincide con il diametro della base.
Alcune formule utili per gli esercizi sono:
- Volume: $V=\pi r^2\cdot h=S_{base}\cdot h$
- Superficie totale: $S_{tot}=S_{lat}+2S_{base}$
- Superficie laterale: $S_{lat}=2\pi r h=S_{tot}-2S_{base}$
- Superficie di base: $S_{base}=\pi r^2=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}$
- Perimetro di base: $2p=2\pi r$
- Raggio: $r=\sqrt{\frac{V}{\pi h}}=\frac{S_{lat}}{2\pi r}=\frac{2p}{2\pi}$
Esempio
In un cilindro il raggio di base è lungo $2.7 cm$ ed è congruente ai $9/11$ dell'altezza. Calcola l'area della superficie laterale e totale del cilindro.
I dati del problema:
- $r=2.7cm$
- $r=\frac{9}{11}\cdot h$
- $S_{lat}=?\quad S_{tot}=?$
Per risolvere il problema, dobbiamo calcolare l'altezza del cilindro: $$ r=\frac{9}{11}\cdot h\Rightarrow h=\frac{11}{9}\cdot r =\frac{11}{9}\cdot 2.7=3.3cm $$ Ora, dobbiamo solamente applicare le formule per calcolare le due superficie richieste: $$ S_{lat}=2\pi r\cdot h=2\cdot 3.14\cdot 2.7\cdot 3.3=55.95cm^2 $$ $$ S_{base}=\pi r^2=3.14\cdot 2.7^2=22.89cm^2 $$ $$ S_{tot}=S_{lat}+2S_{base}=55.95+2\cdot 22.89=55.95+45.78=101.73cm^2 $$
Esempio
Calcola la misura del raggio di un cilindro equilatero avente l'area della superficie totale uguale a $544,5\pi cm^2$.
Dati del problema:
- $S_{tot}=544.5\pi cm^2$
- $r=?$
Essendo questo un cilindro equilatero, l'area totale è data da: $$ S_{tot}=6\pi r^2 $$ dalla quale possiamo ricavarci la formula inversa per calcolare il raggio: $$ r=\sqrt{\frac{S_{tot}}{6\pi}}=\sqrt{\frac{544.5\pi}{6\pi}}=\sqrt{\frac{544.5}{6}}=\sqrt{90.75}=9.53cm $$
Esercizi sul cilindro
- Un cilindro di vetro $(ps 2.5 g/cm^3)$ alto $9 cm$ ha un raggio di base di $5 cm$. Calcola il volume e il suo peso.
- Un cilindro alto $14 cm$ ha una superficie laterale di $224\pi cm^2$. Calcola il volume del solido.
- Il raggio di base di un cilindro misura $8 cm$ e la sua superficie laterale è di $240\pi cm^2$. Calcola il volume del solido e il suo peso sapendolo di ferro $(ps 7.5)$.
