Il triangolo rettangolo è un poligono composto da tre lati (in generale diversi) e da tre angoli di cui uno retto ($90^°$). La base e l'altezza vengono chiamati cateti, mentre il lato obliquo ipotenusa
Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
In formule:
$$c^2=b^2+h^2$$ 
Dal teorema di Pitagora si ricavano le seguenti formule per un triangolo rettangolo:
- Base con altezza e ipotenusa note:$\quad b=\sqrt{c^2-h^2}$
- Altezza con base e ipotenusa note:$\quad h=\sqrt{c^2-b^2}$
- Ipotenusa con altezza e base note:$\quad c=\sqrt{b^2+h^2}$
Problemi di geometria sul teorema di Pitagora
Vediamo alcune applicazioni del teorema di Pitagora
Esempio
Calcolo ipotenusa di un triangolo rettangolo noti l'altezza e l'area
L'altezza di un triangolo rettangolo è lunga $16 cm$ e l'area è pari a $320 cm^2$. Calcola l'ipotenusa del triangolo.
DATI DEL PROBLEMA:
- $h=16cm$
- $A=320cm^2$
- $c=?$
Troviamo la base del triangolo:
$b=\frac{A}{h}=\frac{320}{16}=20cm$
Troviamo l'ipotenusa applicando il teorema di Pitagora
$c=\sqrt{b^2+h^2}=\sqrt{20^2+16^2}=\sqrt{400+256}=\sqrt{656}=25,61cm$
Esempio
Calcolare l'area di un triangolo rettangolo isoscele avente ipotenusa pari a $12cm$.
DATI DEL PROBLEMA:
- $c=12cm$
- $A=?$
Poichè il triangolo rettangolo è isoscele $b=h$.Dal teorema di pitagora abbiamo che
$c^2=b^2+h^2=b^2+b^2=2b^2$
Dunque, abbiamo trovato che:
$c^2=2b^2\Rightarrow b^2=\frac{c^2}{2}\Rightarrow b=\frac{c}{\sqrt{2}}$
Applicando l'ultima espressione trovata possiamo ricavarci $b=h$:
$b=\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=8,49cm$
Dunque, l'area del triangolo sarà:
$A=b*h=8,49*8,49=72,0801cm^2$
Esempio
Un triangolo rettangolo ha la base è congruente al lato di un quadrato avente area pari a $27 cm^2$. L'ipotenusa è lunga $9 cm$. Calcolare il valore dell'altezza, dell'area e del perimetro del triangolo.
DATI DEL PROBLEMA:
- $A_q=27cm^2$
- $c=9cm$
- $h=?\quad A_t=?\quad P_t=?$
Ricaviamoci com prima cosa il lato del quadrato che è congruente alla base del triangolo:
$l=b=\sqrt{A_q}=\sqrt{27}=5,20cm$
Conoscendo l'ipotenusa e la base del triangolo possiamo ricavarci l'altezza:
$h=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{9^2-5,20^2}=\sqrt{81-27}=\sqrt{54}=7,35cm$
Calcoliamo infine area e perimetro del triangolo:
$\begin{array}{l} A=\frac{b*h}{2}=\frac{5,20*7,35}{2}=19,11cm^2\\ P=b+h+c=5,20+7,35+9=21,55cm\end{array}$
Esercizi sul teorema di Pitagora da svolgere
Risolvere i seguenti problemi:
- In un triangolo rettangolo i cateti sono lunghi rispettivamente $4cm$ e $7,5cm$. Calcolare la misura dell'ipotenusa.
- In un triangolo rettangolo un cateto misura $15mm$, mentre l'ipotenusa è $17,7mm$. Calcolare il perimetro del triangolo.
- La base minore di un trapezio rettangolo misura $4 cm$ e quella maggiore il doppio della minore. L'ipotenusa misura $7 cm$. Calcolare altezza, area e perimetro del trapezio.