Estrarre una radice quadrata significa trovare la base dati il valore della potenza e l'esponente. In sostanza, si tratta dell'operazione inversa rispetto all'elevamento a potenza
L'elevamento a potenza può essere alla seconda, alla terza, ecc, cosi come l'estrazione della radice può essere quadrata, cubica, ecc.
Ad esempio, $\sqrt{25}=5$ perchè $5^2=25$
Dunque, possiamo dire che, la radice quadrata di un numero detto radicando è data da un altro numero che elevato al quadrato mi dà il radicando.
I numeri per i quali esiste la radice quadrata si dicono quadrati perfetti e la loro radice quadrata di dice esatta
Esempio
- $\sqrt{16}=4\quad\quad \sqrt{64}=8$
- $\sqrt{0,04}=0,2\quad\quad \sqrt{3,24}=1,8$
- $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\quad\quad \sqrt{\frac{81}{49}}=\frac{9}{7}$
Non sempre, però, la radice quadrata di un numero è esatta, cioè non sempre esiste un numero razionale che elevato al quadrato mi dà il radicando
Esempio
$\sqrt{23}=?\quad \sqrt{0,4}=?\quad \sqrt{\frac{37}{13}}=?$Per riconosce se la radice è esatta o no, devo scomporre il radicando in fattori primi e vedere con quale esponente compaiono. Se il radicando si scompone in fattori primi con esponente pari, la radice è esatta altrimenti, se il radicando ha almeno un fattore con esponente dispari, la radice non sarà esatta
Esempio
alcuni esempi di radici quadrate esatte
- $\sqrt{16}=\sqrt{2^4}=4$
- $\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$
- $\sqrt{100}=\sqrt{2^2\cdot 5^2}=10$
Esempio
alcuni esempi di radici quadrate non esatte
- $\sqrt{15}=\sqrt{3\cdot 5}$
- $\sqrt{24}=\sqrt{2^3\cdot 3}$
- $\sqrt{12}=\sqrt{2^2\cdot 3}$
Per estrarre radici non esatte si effettua un'approssimazione per eccesso o per difetto.
Esempio
Approssimiamo per eccesso e per difetto $\sqrt{15}$
Per approssimarla per eccesso, possiamo porci la seguente domanda: qual è il numero più piccolo che, elevato al quadrato ci dà un numero maggiore di 15? Tale numero è $4$ perchè $4^2=16>15$.
Per approssimarla per difetto, possiamo porci la seguente domanda: qual è il numero più grande che, elevato al quadrato ci dà un numero minore di 15? Tale numero è $3$ perchè $3^2=9<15$.
Possiamo concludere dicendo che $4$ è l'approssimazione per eccesso di $\sqrt{15}$, mentre $3$ è l'approssimazione per difetto di $\sqrt{15}$.
Esempio
Estrarre le seguenti radici approssimando eventualmente sia per eccesso che per difetto:
- $\sqrt{64}$
- $\sqrt{56}$
- $\sqrt{48}$
Estraiamo la 1):
$\sqrt{64}=\sqrt{2^6}=2^3=8$Estraiamo la 2):
$\sqrt{56}=\sqrt{2^3\cdot 7}$. Poichè non è esatta, approssiamiamola: per eccesso diventa $8$, per difetto diventa $7$.Estraiamo la 3):
$\sqrt{48}=\sqrt{2^4\cdot 3}$. Poichè non è esatta, approssiamiamola: per eccesso diventa $7$, per difetto diventa $6$.Estrarre le seguenti radici quadrate
- $\sqrt{81}$
- $\sqrt{128}$
- $\sqrt{104}$
- $\sqrt{221}$
- $\sqrt{76}$