Chiamasi poligono regolare, una figura che ha tutti i lati e gli angoli uguali.
I poligoni regolari si classificano in base al numero di lati:
- Triangolo equilatero (3 lati)
- Quadrato (4 lati)
- Pentagono regolare (5 lati)
- Esagono regolare (6 lati)
In realtà i poligoni regolari non finiscono qua: esistono infatti l'ettagono (con 7 lati), l'ottagono (con 8 lati), l'ennagono (con 9 lati), il decagono (con 10 lati) e così via.
Enunciamo, adesso, le caratteristiche comuni dei poligoni regolari indicando con $l$ il lato, con $n$ il numero dei lati del poligono e sapendo che per ogni poligono possiamo sempre considerare il cerchio inscritto e circoscritto
.
Chiamasi apotema di un poligono regolare, il raggio del cerchio inscritto nel poligono regolare. Per esempio vedi figura qui di seguito dove viene rappresentato l'apotema di un triangolo equilatero:
Ad ogni poligono regolare è associato anche un altro numero detto numero fisso f che è il rapporto tra l'apotema e il lato:
$$f=\frac{a}{l}$$
La seguente tabella associa ad ogni poligono regolare il corrispondente numero di lati e il numero fisso:
| Poligono regolare | N° di lati | Numero fisso $f$ |
|---|---|---|
| Triangolo equilatero | $3$ | $0,289$ |
| Quadrato | $4$ | $0,5$ |
| Pentagono | $5$ | $0,688$ |
| Esagono | $6$ | $0,866$ |
Riassumiamo alcune formule necessarie per lo svolgimento dei problemi sui poligoni regolari
- Perimetro:$\quad n\cdot l$
- Lato con perimetro dato:$\quad l=\frac{P}{n}$
- Numero fisso:$\quad f=\frac{a}{l}$
- Apotema:$\quad a=f\cdot l$
- Lato con apotema e numero fisso dati:$\quad l=\frac{a}{f}$
- Area con perimetro e apotema noti:$\quad A=\frac{P\cdot a}{2}$
- Perimetro con area e apotema noti:$\quad P=\frac{2A}{a}$
- Apotema con perimetro e area noti:$\quad a=\frac{2A}{P}$
In particolare, vediamo pure le formule del triangolo equilatero:
- Area:$\quad A=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$
- Lato con area nota:$\quad l=\sqrt{\frac{4}{\sqrt{3}}A}$
- Perimetro:$\quad P=3l$
- Lato con perimetro noto:$\quad l=\frac{P}{3}$
- Altezza con lato noto:$\quad h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$
- Lato con altezza nota:$\quad l=\frac{2}{\sqrt{3}}h$
Vediamo di risolvere qualche problema relativo ai poligoni regolari
Esempio
Calcolare area, perimetro e altezza di un triangolo equilatero di lato pari a $7 cm$.
Dati del problema:
- $l=7cm$
- $A=?\quad P=?\quad h=?$
Calcoliamo area, perimetro e altezza utilizzando le formule del triangolo equilatero:
$\begin{array}{l} A=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2=\frac{\sqrt{3}}{4}7^2=\frac{\sqrt{3}}{4}49=21,22cm^2\\ P=3l=3*7=21cm\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2}l=\frac{\sqrt{3}}{2}7=6,06cm\end{array}$
Esempio
Un pentagono regolare ha il perimetro di $22,34 cm$. Calcolare la sua area.
Dati del problema:
- $P=22,34cm$
- $A=?$
Troviamo per prima cosa il lato del pentagono:
$l=\frac{P}{5}=\frac{22,34}{5}=4,468cm$
Sapendo che il numero fisso di un pentagono è $f=0,688$ calcoliamo l'apotema:
$a=f*l=0.688*4,468=3,074cm$
Infine calcoliamo l'area:
$A=\frac{P*a}{2}=\frac{22,34*3,074}{2}=34,34cm^2$
Esempio
In un esagono regolare l’apotema misura $22,21 cm$. Calcolare la sua area.
Dati del problema:
- $a=22,21cm$
- $A=?$
Sapendo che il numero fisso di un esagono è $f=0,866$ calcoliamo il suo lato:
$l=\frac{a}{f}=\frac{22,21}{0,866}=25,65cm$
Avendo il lato, possiamo facilmente ricavare il perimetro:
$P=l*6=25,65*5=153,9cm$
Adesso, possiamo calcolare l'area:
$A=\frac{P*a}{2}=\frac{153,9*22,21}{2}=1709,0595cm^2$
Problemi sui poligono regolari da svolgere
Risolvere i seguenti problemi
- Calcolare il perimetro di un triangolo equilatero sapendo che l'altezza misura $9cm$.
- Calcolare l’area di un pentagono regolare avente l’apotema lungo $21 m$.
- Calcolare l’area di un esagono regolare avente il perimetro di $55 m$.
