Un numero naturale di dice primo se è divisibile solo per $1$ e per se stesso.
Ad esempio, i numeri 5, 11, 23 rispettivamente divisibili per $1$ e $5$, per $1$ e $11$ e per $1$ e $23$, sono primi.
Il procedimento per stabilire se un numero è primo è quello di verificare se è divisibile per tutti i numeri che lo precedono. Per velocizzare questa operazione adottiamo un metodo noto con il nome di crivello di Eratostene. Applichiamo tale tecnica alla ricerca dei numeri primi compresi fra $1$ e $60$.
Iniziamo costruendo un elenco (detto setaccio) con i numeri compresi fra i due estremi della ricerca:
$1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
$11$ | $12$ | $13$ | $14$ | $15$ | $16$ | $17$ | $18$ | $19$ | $20$ |
$21$ | $22$ | $23$ | $24$ | $25$ | $26$ | $27$ | $28$ | $29$ | $30$ |
$31$ | $32$ | $33$ | $34$ | $35$ | $36$ | $37$ | $38$ | $39$ | $40$ |
$41$ | $42$ | $43$ | $44$ | $45$ | $46$ | $47$ | $48$ | $49$ | $50$ |
$51$ | $52$ | $53$ | $54$ | $55$ | $56$ | $57$ | $58$ | $59$ | $60$ |
Eliminiamo dalla tabella il numero $1$ che per convenzione si è deciso di non inserire fra i numeri primi. Il primo numero primo è il $2$; lo segniamo in rosso ed eliminiamo (setacciamo) tutti i suoi multipli.
$2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ | |||||
$11$ | $13$ | $15$ | $17$ | $19$ | |||||
$21$ | $23$ | $25$ | $27$ | $29$ | |||||
$31$ | $33$ | $35$ | $37$ | $39$ | |||||
$41$ | $43$ | $45$ | $47$ | $49$ | |||||
$51$ | $53$ | $55$ | $57$ | $59$ |
Il secondo numero è il $3$; analogamente al passaggio precedente, segniamolo in rosso ed eliminiamo tutti i suoi multipli. Otteniamo:
$2$ | $3$ | $5$ | $7$ | ||||||
$11$ | $13$ | $17$ | $19$ | ||||||
$23$ | $25$ | $29$ | |||||||
$31$ | $35$ | $37$ | |||||||
$41$ | $43$ | $47$ | $49$ | ||||||
$53$ | $55$ | $59$ |
Ripetiamo lo stesso procedimento colorando il $5$ ed eliminando i suoi multipli.
$2$ | $3$ | $5$ | $7$ | ||||||
$11$ | $13$ | $17$ | $19$ | ||||||
$23$ | $29$ | ||||||||
$31$ | $37$ | ||||||||
$41$ | $43$ | $47$ | $49$ | ||||||
$53$ | $59$ |
Applichiamo nuovamente la procedura con il $7$
$2$ | $3$ | $5$ | $7$ | ||||||
$11$ | $13$ | $17$ | $19$ | ||||||
$23$ | $29$ | ||||||||
$31$ | $37$ | ||||||||
$41$ | $43$ | $47$ | |||||||
$53$ | $59$ |
Ripetendo tale procedimento otteniamo una tabella con molte caselle vuote; i numeri rimasti sono tutti ed i soli numeri primi compresi fra $1$ e $60$.
Scomposizione in fattori primi
Consideriamo dei numeri non primi, ovvero dei numeri che si compongono di più fattori moltiplicati tra loro:
Nei tre casi abbiamo operato una scomposizione del numero in fattori. Spesso è necessario ottenere una scomposizione in cui i fattori siano tutti numeri primi.
Per comprendere il procedimento da utilizzare consideriamo, ad esempio, il numero $108$.
Una sua scomposizione in fattori è data dal prodotto $12\cdot 9$.
Ciascuno di tali fattori è a sua volta scomponibile in altri fattori:
- - $12$ può essere scomposto nella forma $4\cdot 3$ (che a sua volta si può scrivere nella forma $2^2\cdot 3$);
- - $9$ può essere scomposto nella forma $3^2$.
In definitiva possiamo scrivere:
$$108=12\cdot 9=(4\cdot 3)\cdot(3^2)=2^2\cdot 3\cdot 3^2=2^2\cdot 3^3$$
L'operazione che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si dice scomposizione in fattori primi o fattorizzazione.
Un metodo pratico per svolgere la scomposizione in fattori primi di un numero, ad esempio $132$, è il seguente:
- scriviamo alla destra del numero una linea verticale;
- applichiamo i criteri di divisibilità e scriviamo a destra del numero il più piccolo divisore del numero (cioè $2$);
- calcoliamo la divisione fra il numero ed il divisore ($132:2$) e scriviamo il risultato ($66$) immediatamente sotto il numero $132$;
- scriviamo a destra di $66$ il divisore più piccolo (ancora il numero $2$) e sotto al $66$ il risultato della divisione ($33$);
- scriviamo a destra di $33$ il divisore più piccolo (il numero $3$) e sotto il $33$ il risultato della divisione ($11$);
- il numero $11$ è primo quindi lo riscriviamo alla sua destra e, al solito, riportiamo sotto il suo quoziente ($1$).
Avendo trovato come quoziente il numero $1$, la procedura di scomposizione è terminata e possiamo scrivere:
$$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11=2^2\cdot 3\cdot 11$$
Esempio di scomposizione in fattori primi
Scomporre in fattori primi il numero $126$
Esempi di scomposizione in fattori primi
Scomporre in fattori primi i numeri $3780$ e $252$
Scomponi ciascuno dei seguenti numeri in prodotti di fattori primi.
$$38;\quad\quad 200;\quad\quad 622;\quad\quad 1656;\quad\quad 16016.$$
MCD e mcm
Dati due numeri naturali, ad esempio il $12$ e il $16$, calcoliamo i loro insiemi dei divisori:
$$D_{12}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12\}\quad\quad D_{16}=\{1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16\}$$
Osserviamo che l'insieme dei divisori comuni ad entrambi i numeri è costituita dai numeri $1,\ 2$ e $4$ cioè $D_{12,\ 16}=\{1,\ 2,\ 4\}$.
Il numero $4$ è il maggiore di tali divisori comuni e per tale ragione viene chiamato Massimo Comune Divisore (M.C.D.) dei numeri $12$ e $16$; in simboli:
$$M.C.D.(12,\ 16)=4$$
Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati.
Inoltre:
Due o più numeri si dicono primi tra loro se hanno $1$ come M.C.D.
Esempio di calcolo del Massimo Comune Divisore
Calcoliamo il M.C.D. tra i numeri $18,\ 24,\ 30$.
Scriviamo tutti i loro divisori:
$$\begin{array}{l} D_{18}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18\}\\ D_{24}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24\}\\ D_{30}=\{1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 10,\ 15,\ 30\}\end{array}$$
I divisori comuni di $18,\ 24$ e $30$ costituiscono l'insieme $D_{18,\ 24,\ 30}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6\}$; il maggiore di essi è il numero $6$ e pertanto:
$$M.C.D.(18,\ 24,\ 30)=6$$
Calcola il M.C.D. di ciascuno dei seguenti gruppi di numeri mediante la fattorizzazione.
- $(60,\ 72)$
- $(110,\ 28)$
- $(900,\ 810)$
- $(92,\ 161,\ 506)$
- $(675,\ 450,\ 1000)$
Consideriamo adesso due numeri naturali, ad esempio il $2$ e il $3$ ed elenchiamo in ordine crescente alcuni loro multipli (escluso lo zero):
$M_2=\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20,\ 22\, 24,\dots\}$
$M_3=\{3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18,\ 21,\ 24,\ 27,\ 30,\ 33,\dots\}$
Osserviamo che l'insieme dei multipli a comune tra i due numeri è l'insieme:
$$M_{2,\ 3}=\{6,\ 12,\ 18,\ 24,\dots\}$$
Il numero $6$ è il minore di tanti multipli comuni e per questa ragione viene detto minimo comune multiplo (m.c.m) dei numeri $2$ e $3$; in simboli:
$$m.c.m.(2,\ 3)=6$$
Il minimo comume multiplo (m.c.m.) di due numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri stessi.
Esempio di calcolo del minimo comune multiplo
Calcoliamo il m.c.m. dei numeri $3,\ 4,\ 6$.
Scriviamo alcuni loro multipli:
$$\begin{array}{l} M_{3}=\{3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18,\ 21,\ 24,\ 27,\dots\}\\ M_{4}=\{4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 20,\ 24,\ 28,\dots\}\\ M_{6}=\{6,\ 12,\ 18,\ 24,\ 30,\ 36,\dots\}\end{array}$$
I multipli comuni di $3,\ 4$ e $6$ costituiscono l'insieme $M_{3,\ 4,\ 6}=\{12,\ 24,\dots\}$; il minore di essi è il numero $12$ e pertanto:
$$m.c.m.(3,\ 4,\ 6)=12$$
Calcola il m.c.m. di ciascuno dei seguenti gruppi di numeri mediante la fattorizzazione.
- $(75,\ 60)$
- $(420,\ 225)$
- $(900,\ 810)$
- $(210,\ 525,\ 735)$
- $(1200,\ 800,\ 360)$