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Insieme numerico compito 22-01-2015

Siano $X$ e $Y$ i seguenti insiemi numerici: $$X=\bigg\{1-\frac{1}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}$$ $$Y=]1,+\infty[\ \cap\ \mathbb Z$$ Quali delle seguenti asserzioni è VERA?

  1. $DX\cap DY\neq\emptyset$.
  2. $\mathop X\limits ^\circ\cup\mathop Y\limits ^\circ\neq\emptyset$.
  3. $X\cup\{1\}$ e $Y\cup\{1\}$ sono separati e contigui.
  4. $FX=X$.
  5. Nessuna delle altre risposte.

Osserviamo da quali elementi sono composti i due insiemi:

$$X=\bigg\{0,\frac{1}{2},\frac{4}{5},\dots \bigg\}$$ $$Y=\{2,3,4,\dots ,\}$$

L'unico punto di accumulazione per $X$ è il limite della successione dentro le parentesi graffe, e si trova calcolando:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}1-\frac{1}{n^2+1}=1$$

Dunque il derivato di $X$ è l'insieme formato solo dal punto 1:

$$DX=\{1\}$$

Dato che l'insieme $Y$ non ha punti di accumulazione, il derivato di $Y$, è l'insieme vuoto:

$$DY=\emptyset$$

Per quanto detto si ha $DX\cap DY=\emptyset$, ragion per cui la 1) è FALSA.

Poichè sia $X$ che $Y$ non hanno punti interni, l'unione dei loro interni è l'insieme vuoto e quindi anche la 2) è falsa:

$$\mathop X\limits ^\circ\cup\mathop Y\limits ^\circ =\emptyset$$

La 3) è VERA perchè

$$X\cup\{1\}=\bigg\{0,\frac{1}{2},\frac{4}{5},\dots ,1\bigg\}$$

e

$$Y\cup\{1\}=\{1,2,3,4,\dots ,\}$$

i quali sono due insiemi separati perchè tutti gli elementi di $X$ sono minori o uguali a tutti quelli di $Y$ e sono pure contigui dato che

$$\inf \{Y\cup\{1\}\}=\min \{Y\cup\{1\}\}=1=\sup \{X\cup\{1\}\}=\max \{X\cup\{1\}\}$$

La frontiera di $X$ è formato da tutti gli elementi di $X$ più l'elemento limite della successione, ossia 1:

$$FX=X\cup\{1\}\neq X$$

Di conseguenza, la 4) è falsa.

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