$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\mbox{IPOTESI:}\quad\begin{array}{l} 1)\ ABC \ \mbox{triangolo qualsiasi}\\ 2) A\hat{C}D \cong D\hat{C}B \end{array}\quad\Rightarrow\quad\mbox{TESI:}\quad\begin{array}{l} AD:DB = AC:BC \end{array}}$$
Conduciamo dal vertice $B$ la parallela alla bisettrice $CD$ finchè essa incontri il prolungamento del lato $AC$ in un punto $E$. Per la costruzione appena eseguita, quindi, le rette passanti per $CD$ e $BE$ saranno parallele e tagliate dalla trasversale $BC$. Gli angoli $D\hat{C}B$ e $C\hat{B}E$ risulteranno così congruenti in quanto angoli alterni interni, cioè $$D\hat{C}B \cong C\hat{B}E$$
In modo analogo, consideriamo le rette parallele passanti per $CD$ e $BE$ tagliate questa volta dalla trasversale $AE$. Questa, allora, determinerà angoli corrispondenti congruenti: cioè $$A\hat{C}D \cong C\hat{E}B$$
Inoltre, poichè $CD$ è bisettrice, si avrà per ipotesi
$$A \hat{C} D \cong D \hat{C}B$$
Confrontando, così, le ultime tre congruenze si avrà anche che
$$C\hat{B}E \cong C\hat{E}B$$
ovvero il triangolo $BCE$ sarà isoscele in quanto ha gli angoli alla base congruenti. In particolare, esso avrà i lati congruenti, cioè
$$BC \cong CE$$
Consideriamo adesso il triangolo $ABE$ tagliato dal segmento $CD$ parallelo al lato $BE$ del triangolo. Per il corollario del Teorema di Talete, sappiamo che la parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due in parti proporzionali, e quindi
$$AD:DB = AC:CE$$
ma, poichè $BC \cong CE$, l'ultima proporzione diventa
$$AD:DB = AC:BC$$
che era quello che si voleva dimostrare.
