La retta

Vista la lezione introduttiva sulla geometria analitica, passiamo alla descrizione di un altro oggetto che viene studiato in questo contesto, ossia la retta.

Definiamo retta quell'oggetto del piano formato da infiniti punti disposti lungo una certa direzione attraversando completamente il piano cartesiano.

La retta può apparire sotto forma di equazione implicita

$$ax+by+c=0$$

dove a, b e c sono numeri reali qualsiasi (es: $2x-3y+4=0$)

oppure sotto forma di equazione esplicita

$$y=mx+q$$

dove m e q sono numeri reali qualsiasi (es: $y=3x-2$).

Come disegnare una retta nel piano

Per graficare una retta nel piano occorre trovare due suoi punti. Il modo più comodo e veloce per farlo consiste nel sostituire x=0 e ricavare la y e viceversa, sostituire y=0 e e ricavare la x. Leggiamo l'esempio qui in basso.

Esempio 1

Grafichiamo la retta di equazione $3x+5y+4=0$

Sostituendo x=0 nell'equazione data otteniamo $5y+4=0$, ossia $y=-\frac{4}{5}$. Abbiamo così trovato il punto $A\left(0,-\frac{4}{5}\right)$.

Sostituendo invece y=0, otteniamo $3x+4=0$, che ha soluzione $x=-\frac{4}{3}$, trovando il punto $B\left(-\frac{4}{3},0\right)$.

Identificando i punti A e B sul piano e unendoli con una linea dritta, otteniamo il grafico della retta data:

Grafico di una retta nel piano

Facciamo osservare che i punti trovati sono dei punti particolari chiamati intersezioni della retta con gli assi cartesiani. In particolare, quando si sceglie x=0 si trova l'intersezione con l'asse y, mentre quando si sceglie y=0 si ricava l'intersezione con l'asse x.

Grafico delle rette verticali, orizzontali e passanti per l'origine

Esistono dei particolari tipi di rette per le quali è più immediato tracciare il loro grafico.

E' il caso delle rette orizzontali che hanno equazione del tipo: $$y=k$$ dove k è un numero qualsiasi. Il grafico di una retta orizzontale è una linea parallela all'asse delle ascisse x passante per il valore y=k Ad esempio, se avessimo la retta $y=-3$, il suo grafico sarebbe

Il grafico di una retta orizzontale

Altre particolari rette sono le rette verticali che hanno equazione del tipo $$x=h$$ dove, al solito, h è un qualsiasi numero. Ad esempio, il grafico della retta verticale x=1 è il seguente:

Il grafico di una retta verticale

Infine, abbiamo le rette passanti per l'origine degli assi, ossia quelle rette caratterizzate dall'assenza del termine noto: $$ax+by=0$$

Graficare una retta passante per l'origine è più semplice perchè bisogna trovare soltanto un altro suo punto diverso dall'origine. Ad esempio la retta $3x-y=0$ è una retta passante per l'origine $O=(0,0)$ e per il punto $A=(1,3)$ (basta sostituire x=1 per trovare il valore y=3).

Il grafico di una retta passante per l'origine

Coefficiente angolare o pendenza di una retta

Diamo adesso la definizione di un elemento importante quando si studia il grafico di una retta: il coefficiente angolare.

Dicesi coefficiente angolare o pendenza di una retta la variazione delle y in relazione alla variazione delle x. Dati due punti di coordinate $P_1=(x_1,y_1)$ e $P_2=(x_2,y_2)$, il coefficiente angolare si calcola così: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}}$$

In parole più semplici, da un punto di vista grafico, il coefficiente angolare indica con quale rapidità la retta passante per i unti $P_1$ e $P_2$ cresce ($m>0$) o decresce ($m<0$) al variare della x.

Osserviamo che il coefficiente angolare di una retta espressa in forma esplicita ($y=mx+q$) è il coefficiente della x, per cui in tal caso, non serve calcolarlo.

Se invece l'equazione della retta si presenta nella forma implicita, possiamo applicare la formula del coefficiente angolare della retta espressa in forma implicita (che ricordiamo essere $ax+by+c=0$): $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{m=-\frac{a}{b}}$$

Coefficiente angolare di una retta nel piano

Dall'immagine sopra vediamo in particolare che le rette orizzontali, che hanno pendenza nulla, avranno quindi coefficiente angolare uguale a zero; mentre per le rette verticali non esiste il coefficiente angolare poichè sono caratterizzate da una pendenza simbolica infinita.

Adesso focalizziamo la nostra attenzione su un problema inverso, ossia su come ricaviamo l'espressione della retta se non è data nell'esercizio. La risposta a questa domanda dipende da quali altre informazioni abbiamo riguardo la retta. Di seguito vediamo diverse formule che ci permettono di trovare l'equazione della retta a seconda dei dati forniti.

Equazione della retta passante per due punti

Se sono dati due punti $P_1=(x_1,y_1)$ e $P_2=(x_2,y_2)$, per trovare la retta passante per tali punti basta applicare la formula della retta passante per due punti: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}}\quad (\bigstar)$$

Esempio

La retta passante per i punti $P_1=(3,5)$ e $P_2=(-2,8)$ è: $$\frac{x-3}{-2-3}=\frac{y-5}{8-5}$$

Semplificando otteniamo: $$\begin{array}{l} \frac{-x+3}{5}=\frac{y-5}{3}\\ -3x+9=5y-25\\ -3x-5y+34=0\\ 3x+5y+34=0\end{array}$$

Tuttavia, tale formula ha delle limitazioni in quanto non può essere applicata nei casi in cui le ascisse $x_1$ e $x_2$ o le ordinate $y_1$ e $y_2$ coincidono; infatti, in tal caso, nella formula $(\bigstar)$ comparirebbero degli zeri al denominatore. Allora come comportarsi in questi casi? Semplice! L'equazione della retta passante per due punti che hanno la stessa ascissa $x_1=x_2$ è $x=x_1$ (retta verticale); mentre invece se la retta passa per due punti che hanno la stessa ordinata $y_1=y_2$, avremmo la retta orizzontale $y=y_1$.

Esempio

L'equazione della retta passante per i punti $A=(3,5)$ e $B=(3,-6)$ è $x=3$.

Equazione della retta dati un punto e il coefficiente angolare

Se conosciamo il coefficiente angolare $m$ e un punto $P_1=(x_1,y_1)$ per cui passa la retta, possiamo trovare la sua equazione: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{y-y_1=m(x-x_1)\quad (\bigstar\bigstar)}$$

Esempio

Troviamo l'equazione della retta avente coefficiente angolare $m=-\frac{3}{5}$ e passante per il punto di coordinate $(1,2)$: $$\begin{array}{l} y-2=-\frac{3}{5}(x-1)\\ 5y-10=-3x+3\\ 3x+5y-13=0\end{array}$$

Rette parallele e perpendicolari

L'equazione della retta per un punto con coefficiente angolare noto torna spesso utile quando si vuole trovare le equazioni di rette parallele o perpendicolari ad una retta data.

Consideriamo due rette (per comodità scritte in forma implicita) $$\begin{array}{l}r_1: y=mx+q\\ r_2:y=m'x+q'\end{array}$$

Condizione di parallelismo tra due rette: $r_1$ e $r_2$  sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare (o la stessa pendenza), in formule: $$m=m'$$

Condizione di perpendicolarità o ortogonalità tra due rette: $r_1$ e $r_2$  sono perpendicolari o ortogonali se il coefficiente di una è l'opposto e il reciproco dell'altra, in formule: $$m=\frac{1}{m'}$$

Determinare l'equazione della retta $r_2$ passante per l'origine degli assi cartesiani e perpendicolare alla retta $r_1: x+2y-1=0$

Calcoliamo innanzitutto il coefficiente angolare di $r_1$. Essendo $a=1$ e $b=2$, ricordando la formula vista qui, si ha: $$m_1=-\frac{1}{2}$$

La retta $r_2$, dovendo essere perpendicolare a $r_1$ avrà coefficiente angolare: $$m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{-1/2}=2$$

Utilizzando l'equazione $(\bigstar\bigstar)$, la $r_2$ passante per il punto $(0,0)$ e avente coefficiente angolare pari a 2 è: $$\begin{array}{l}y-0=2(x-0)\\ y=2x\end{array}$$ 

Rette perpendicolari

Formula distanza punto-retta

Nei problemi geometrici che coinvolgono il calcolo di perimetri e aree di poligoni, è spesso necessario calcolare la distanza tra un punto e una retta. Ma diamo prima la definizione (non affatto banale) di distanza punto-retta. Si definisce distanza punto-retta la lunghezza minima del segmento che congiunge il punto con la retta; tale lunghezza minima si ricava disegnando il segmento uscente dal punto in maniera perpendicolare alla retta (vedi figura in basso).

La distanza tra un punto $P_0=(x_0,y_0)$ e una retta $r: ax+by+c=0$ è data dalla seguente formula: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{d(P_0,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}\quad (\bigstar\bigstar\bigstar)$$

Esempio

Determiniamo la distanza del punto $P=(1,6)$ dalla retta $r: 3x+4y-2=0$

Applicando la formula appena mostrata, otteniamo: $$\begin{eqnarray*} d(P,r)&=&\frac{|3\cdot 1+4\cdot 6-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\\ &=&\frac{|25|}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5\end{eqnarray*}$$

Distanza punto-retta

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