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Calcolo capacità e campo elettrico di un condensatore riempito a metà

Un condensatore piano ha armature quadrate con lato $b=5cm$. Lo spazion tra le armature è riempito a metà da un dielettrico omogeneo, di costante dielettrica relativa $\varepsilon_r$ pari a 4.9, mentre nell'altrà metà c'è il vuoto. Il dielettrico è a contatto con l'armatura caricata positivamente e la distanza tra le armature è $d=1cm$. Se la d.d.p. $\Delta V$ tra le armature è pari a $12V$, determina la capacità del condensatore, il campo elettrico nel vuoto e nel dielettrico.

Qui sotto è presente uno schema del condensatore descritto nel testo.

Condensatore riempito con due sostanze dielettriche diverse

Dato che il condensatore è riempito di due sostanze diverse (il vuoto e il dielettrico), possiamo considerarlo come 2 condensatori in serie $C_1$ e $C_2$ aventi armature distanti $d/2$.

Ricordiamo che, nota la costante dielettrica $\varepsilon$, la sezione $A$ e la distanza $d$ tra le armature del condensatore, la capacità è nota utilizzando la formula

$$C=\varepsilon\frac{A}{d}$$

dove $\varepsilon=\varepsilon_0\cdot \varepsilon_r$, con $\varepsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}\frac{F}{m}$ costante dielettrica nel vuoto.

Utilizzando la formula di sopra, otteniamo il valore delle due capacità:

$$\begin{eqnarray*} C_1 &=& \varepsilon_0\cdot\varepsilon_r\frac{b^2}{d/2}=8.85\cdot 10^{-12}\cdot 4.9\frac{(5*10^{-2})^2}{1\cdot 10^{-2}/2}=21.68pF\\ C_2 &=& \varepsilon_0\frac{b^2}{d/2}=8.85\cdot 10^{-12}\frac{(5*10^{-2})^2}{1\cdot 10^{-2}/2}=4.43pF\end{eqnarray*}$$

Possiamo dunque calcolare la capacità equivalente delle due capacità in serie:

$$\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$$

ossia

$$C_{eq}=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}=\frac{21.68\cdot 4.43}{21.68+4.43}=3.68pF$$

Per calcolare il campo elettrico generato all'interno dei due dielettrici, è necessario conoscere la differenza di potenziale ai capi di ciascun condensatore. A tal proposito bisogna notare che la carica di due condensatori in serie è uguale e coincide con quella della capacità equivalente:

$$Q=C_{eq}\cdot\Delta V=3.68\cdot 10^{-12}*12=44.16pC$$

Nota la carica di ciascun condensatore possiamo ricavarci la tensione ai loro capi:

$$\begin{eqnarray*} \Delta V_1 &=& \frac{Q}{C_1}=\frac{44.16}{21.68}=2.04V\\ \Delta V_2 &=& \frac{Q}{C_2}=\frac{44.16}{4.43}=9.97V\end{eqnarray*}$$

e di conseguenza il loro campo elettrico:

$$\begin{eqnarray*} E_1 &=& \frac{\Delta V_1}{d/2}=\frac{2.04}{1\cdot 10^{-2}/2}=408\frac{V}{m}\\ E_2 &=& \frac{\Delta V_2}{d/2}=\frac{9.97}{1\cdot 10^{-2}/2}=1994\frac{V}{m}\end{eqnarray*}$$

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