Teorema di De L'Hopital

Il teorema di De L'Hopital è utile per calcolare i limiti che si presentano nelle forme indeterminate

$$\frac{0}{0}\quad\quad\frac{\infty}{\infty}$$

Siano date due funzioni $f,g:X\rightarrow\mathbb R$, con $X\subseteq\mathbb R$. Sia $x_*$ o un punto di accumulazione per $x_0$ per $X$, oppure i simboli $+\infty,\ -\infty$. Si ha:

IPOTESI:

1. $\lim\limits_{x\rightarrow x_*} f(x)=\lim\limits_x\rightarrow x_* g(x)=0$ (oppure $\lim\limits_{x\rightarrow x_*} |f(x)|=\lim\limits_{x\rightarrow x_*} |g(x)|=+\infty$
2. $f,g$ derivabili in $X\setminus\{x_0\}$
3. $\exists\ I^*(x_*):\forall x\in\ I^*(x_*)\ g'(x)\neq 0$
4. $\exists\ \lim\limits_{x\rightarrow x_*}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

TESI:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\lim\limits_{x\rightarrow x_*}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_*}\frac{f'(x)}{g'(x)}}$$