Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange

Teorema di Rolle

Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb R$ una funzione. Si ha:

IPOTESI:

1. $f$ continua in $[a,b]$
2. $f$ derivabile in $]a,b[$
3. $f(a)=f(b)$

TESI:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\exists\ c\in\ ]a,b[:f'(c)=0}$$

Teorema di Lagrange

Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb R$ una funzione. Si ha:

IPOTESI:

1. $f$ continua in $[a,b]$
2. $f$ derivabile in $]a,b[$

TESI:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\exists\ c\in\ ]a,b[:f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$$

Teorema di Cauchy

Sia $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb R$ due funzioni. Si ha:

IPOTESI:

1. $f,g$ continue in $[a,b]$
2. $f,g$ derivabili in $]a,b[$
3. $g(b)\neq g(a)$
4. $\not\exists\ x\in\ ]a,b[:f'(x)\neq g'(x)=0$

TESI:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\exists\ c\in\ ]a,b[:\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$$