Esempio
Sia $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ una funzione continua in $\mathbb R$ e derivabile in $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$. Si assuma che il grafico della sua derivata $f':\mathbb R\setminus\{-1,1\}\rightarrow\mathbb R$ sia il seguente: 
quali tra le seguenti asserzioni è FALSA:
- $f$ ha un massimo assoluto e un minimo relativo.
- $f$ è superiormente limitata.
- Se $f(0)=1$, allora $max f(x)=2$.
- Se $f(0)=1$, allora $\int_{-1}^1f(x)\ dx=0$.
- $f$ è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.
$x=0$ è un punto di minimo relativo per $f$ poichè in tale punto la derivata si annulla e $f'(x)<0$ per $x<0$ e $f'(x)>0$ per $x>0$. Inoltre, $f$ presenta due punti di massimo assoluto. Infatti, l'espressione analitica della $f'$ è:
$$f'(x)=\begin{cases} 2&\mbox{se }x<-1\\ 2x&\mbox{se }-1<x<1\\ -2&\mbox{se }x>1\end{cases}$$
da cui possiamo ricavarci le sue primitive per ognuno dei tre intervalli:
$$f(x)=\begin{cases} 2x+k&\mbox{se }x<-1\\ x^2+q&\mbox{se }-1<x<1\\ -2x+h&\mbox{se }x>1\end{cases}\quad\mbox{con }k,q,h\in\mathbb R$$
Poichè, per ipotesi la $f$ è continua, i limiti destro e sinistro nei punti $x=-1$ e $x=1$ devono coincidere:
$$\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}2x+k=-2+k=\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}x^2+q=1+q$$ $$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}x^2+q=1+q=\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}-2x+h=-2+h$$
Deve essere, quindi, soddisfatto il seguente sistema:
$$\begin{cases} -2+k=1+q\\ 1+q=-2+h\end{cases}$$
ovvero quando $h=k$ e $k=3+q$. In tal modo la $f$ può essere riscritta come segue:
$$f(x)=\begin{cases} 2x+3+q&\mbox{se }x<-1\\ x^2+q&\mbox{se }-1<x<1\\ -2x+3+q&\mbox{se }x>1\end{cases}\quad\mbox{con }q\in\mathbb R$$
e il suo grafico (a meno dell'incognita $q$) è il seguente:
Adesso possiamo ben vedere che la funzione è limitata superiormente e presenta due punti di massimo assoluto per $x=-1$ e $x=1$. Inoltre, la $f$ risulta simmetrica rispetto l'asse $\vec{y}$. Nota che non abbiamo graficato l'asse $\vec{x}$ poichè il grafico si trasla verso il basso o verso l'alto a seconda che il parametro $q$ diminuisca o aumenti.
Per quello detto, la 1), la 2) e la 5) sono vere.
Se $f(0)=1$, dall'espressione della $f$ segue subito che $q=1$, pertanto, si ha:
$$f(x)=\begin{cases} 2x+4&\mbox{se }x<-1\\ x^2+1&\mbox{se }-1<x<1\\ -2x+4&\mbox{se }x>1\end{cases}$$
Il massimo viene raggiunto quando $x=1$ o $x=-1$ e si ha $max f(x)=f(-1)=f(1)=2$. Anche la 3) è vera.
La risposta FALSA è la 4) infatti, se $f(0)=1$ si ha:
$$\int\limits_{-1}^1x^2+1\ dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_{-1}^1=\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}+1=\frac{8}{3}\neq 0$$
Esempio
Sia $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ una funzione continua in $\mathbb R$, la cui derivata $f':\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}\rightarrow\mathbb R$ ha il seguente grafico: 
Si assuma che $f(-1)=1$. Quali tra le seguenti asserzioni è VERA?
- $f$ ha un massimo assoluto ma non un minimo assoluto.
- Esistono al più due valori distinti $x_1,x_2\in\mathbb R$ tali che $f(x_1)=f(x_2)=0$.
- $\int_{-1}^1f(x)\ dx=0$.
- $\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x)$ non esiste.
- Nessuna delle altre risposte.
Con le ipotesi che abbiamo possiamo ricavarci direttamente il grafico della $f$. Innanzitutto scriviamo l'espressione della $f'$ ricavandola dal grafico soprastante:
$$f'(x)=\begin{cases} 1&\mbox{se }x<-1\\ -1&\mbox{se }-1 < x < 0\\ 1&\mbox{se }0 < x < 1\\ -1&\mbox{se }x>1\end{cases}$$
Grazie alle ipotesi di continuità della $f$, troviamo le primitive della $f'$ per ognuno dei quattro intervalli:
$$f(x)=\begin{cases} x+h&\mbox{se }x\le -1\\ -x+k&\mbox{se }-1 < x \le 0\\ x+q&\mbox{se }0 < x \le 1\\ -x+s&\mbox{se }x\ge 1\end{cases}\quad\mbox{con } h,k,q,s\in\mathbb R$$
Per ipotesi si ha che $f(-1)=1$, ossia, $-1+h=1$ e quindi $h=2$. L'ipotesi di continuità è necessaria anche per trovare le altre incognite $k,q,s$. Sfruttiamo questa ipotesi imponendo che i limiti sinistro e destro della $f$ nei punti $-1,0,1$ coincidano:
$$\lim\limits_{x\rightarrow -1^-}x+h=1=\lim\limits_{x\rightarrow -1^+}-x+k=1+k$$
che è vera solo quando $k=0$
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}-x+k=0=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x+q=q$$
ovvero quando $q=0$.
$$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}x+q=1=\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}-x+s=-1+s$$
che è verificata quando $s=2$.
Riscriviamo la $f$ sostituendo i valori trovati:
$$f(x)=\begin{cases} x+2&\mbox{se }x\le -1\\ -x&\mbox{se }-1 < x \le 0\\ x&\mbox{se }0 < x \le 1\\ -x+2&\mbox{se }x\ge 1\end{cases}$$
Il grafico della $f$ è dunque:
Dal grafico possiamo che la risposta VERA è la 1) in quanto la funzione ha due massimi assoluti per $x=-1$ e $x=1$, ma non ha nessun minimo assoluto in quanto non è nemmeno limitata inferiormente. La 2) è falsa poichè i punti in cui la $f$ si annulla sono più di 2 (ed esattamente $x=-2$, $x=0$ e $x=2$). La 3) è falsa perchè nell'intervallo $[-1,1]$ la curva risiede completamente sopra l'asse $\vec{x}$, per cui, l'integrale sarà sicuramente positivo. Infine, la 4) è banalmente falsa perchè, essendo la $f$ per ipotesi continua in tutto $\mathbb R$, i limiti verso tutti i punti del dominio sono ben definiti (in particolare anche per $x=1$).
Esempio
Sia $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ una funzione continua e la cui derivata $f':\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ ha il seguente grafico: 
Quali tra le seguenti asserzioni è FALSA?
- Se $f(0)=1$, allora $\int_{-1}^0f(x)\ dx\le 1$.
- $f$ è decrescente in $]-1,1[$.
- $f$ non ha punti di massimo assoluto.
- $f$ ha un punto di flesso.
- $f$ ha un punto critico.
Scriviamo dapprima l'espressione analitica della $f'$:
$$f'(x)=\begin{cases} 2x&\mbox{se } x\le 0\\ -2x&\mbox{se } x > 0\end{cases}$$
Da cui, calcolandone le primitive e considerando l'ipotesi di continuità della $f$, abbiamo che:
$$f(x)=\begin{cases} x^2+k&\mbox{se } x\le 0\\ -x^2+h&\mbox{se } x > 0\end{cases}$$
Dovendo i limiti destro e sinistro per $x=0$ coincidere (dato che $f$ è continua in tutto $\mathbb R$) si ha:
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}x^2+k=k=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^2+h=k$$
la quale è verificata solo quando $k=h$. Quindi riscriviamo la $f$:
$$f(x)=\begin{cases} x^2+k&\mbox{se } x\le 0\\ -x^2+k&\mbox{se } x > 0\end{cases}$$
Osserviamo che la $f$ è composta da due archi di parabola entrambi con vertice in $(0,k)$ una con concavità verso l'alto per $x\le 0$ e l'altra con concavità verso il basso per $x>0$ così come mostra il suo grafico:
Dal grafico qui sopra, possiamo osservare che le 2), 3), 4) e 5) sono banalmente vere ed in particolare $x=0$ è sia un punto critico che un flesso per $f$.
La risposta FALSA è, dunque, la 1) infatti, se $f(0)=1$, $k=1$ e la funzione è quindi:
$$f(x)=\begin{cases} x^2+1&\mbox{se } x\le 0\\ -x^2+1&\mbox{se } x > 0\end{cases}$$
Calcolando l'integrale si ha:
$$\int_{-1}^0x^2+1\ dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]=\frac{4}{3}>1$$
Osserviamo che potevamo risparmiarci quest'ultimo calcolo se ci fossimo accorti che l'area sottesa dalla $f$ nell'intervallo $[-1,0]$ è maggiore di quella del quadrato di lato 1 con vertici $(0,0)$, $(-1,0)$, $(-1,1)$ e $(0,1)$ mostrato in figura.
