Criterio di Raabe

Data la serie a termini non negativi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ e supposto che

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=l\in [0,+\infty]$$

si ha che:

1. a) se $l > 1\quad\Rightarrow\quad$ la serie data converge;
2. b) se $l < 1\quad\Rightarrow\quad$ la serie data diverge;
3. c) se $l = 1\quad\Rightarrow\quad$ nulla si può dire circa il carattere della serie.

Osserviamo che, nel caso in cui il limite suddetto risulti $+\infty$, per la b) la serie diverge. Se invece il limite risultasse $1$, dovremmo ricorrere ad altri criteri.

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