Serie geometrica di ragione $q$
La serie geometrica di ragione $q$ è la seguente:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sum\limits_{n=1}^{+\infty}q^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}q^{n}}$$
Il comportamento della serie geometrica cambia al variare della ragione $q$, infatti:
- se $-1 < q < 1\quad\Rightarrow\quad$ la serie converge con somma $S=\frac{1}{1-q}$;
- se $q\ge 1\quad\Rightarrow\quad$ la serie diverge a $+\infty$;
- se $q\le -1\quad\Rightarrow\quad$ la serie oscilla.
Serie di Mengoli
La serie di Mengoli è definita come:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}}$$
Analizziamo l'andamento della serie scrivendone la somma:
- $$\begin{array}{l} S&=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}+\dots=\\ &=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\dots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\dots=1\end{array}$$
Riscrivendo la somma, come fatto nel secondo passaggio, si osserva che tutti i termini della serie a partire dal secondo, si elidono a vicenda, per cui, l'unico termine che rimane è il primo ovvero 1. Dunque, la somma della serie è 1.