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L'unità immaginaria e i numeri immaginari

Nell'insieme dei numeri reali nessun numero elevato al quadrato dà un numero negativo. Nulla ci impedisce però di introdurre un nuovo ente, cioè di immaginare un nuovo numero (naturalmente non reale) il quale, elevato al quadrato, dia -1.

Conveniamo di indicare con i questo numero e di chiamarlo unità immaginaria. Sarà quindi:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{i^2=-1}$$

Per tale numero valgono le regole dei segni per il prodotto:

$$(-i)^2=-1\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-1}=\pm i$$

Rappresentando ora con $b$ un qualsiasi numero reale, diamo al prodotto indicato $b\cdot i$ il nome di numero immaginario e a $b$ il nome di coefficiente del numero immaginario.

Operazioni tra numeri immaginari

  • La somma (o la differenza) di due numeri immaginari è il numero immaginario avente per coefficiente la somma (o la differenza) dei due coefficienti: $$bi\pm b'i=(b+b')i$$
  • Il prodotto di un numero reale per un numero immaginario è il numero immaginario avente per coefficiente il prodotto del numero reale per il coefficiente del numero immaginario: $$b'\cdot(bi)=(b'b)i$$
  • Il prodotto di due numeri immaginari è il numero reale opposto del prodotto dei due coefficienti: $$(bi)\cdot(b'i)=(bb')i^2=-bb'$$
  • Il quoziente di due numeri immaginari è il numero reale quoziente dei due coefficienti: $$\frac{bi}{b'i}=\frac{b}{b'}$$
  • La potenza n-esima di un numero immaginario è uguale al prodotto delle potenze n-esime del coefficiente e dell'unità immaginaria: $$(bi)^n=b^n\cdot i^n$$

Osservazione sulle potenze dell'unità immaginaria:

$$\begin{array}{l} i^0=1;\quad & i^1=i;\quad & i^2=-1;\quad & i^3=-i;\\ i^4=1;\quad & i^5=i;\quad & i^6=-1;\quad & i^7=-i;\\ ......& ......& ......& ......\end{array}$$

Come si può osservare tali potenze assumono ciclicamente i quattro valori:

$$1;\quad i;\quad -1;\quad -i.$$

Esempi di operazioni tra numeri immaginari

  1. $3i+4i=(3+4)i=7i.$
  2. $7i-9i=(7-9)i=-2i.$
  3. $5i-(-4i)=(5+4)i=9i.$
  4. $3i+2i-6i=(3+2-6)i=-i.$
  5. $-2i+2i=(-2+2)i=0i=0.$
  6. $4i\cdot(-3i)=-12i^2=-12(-1)=12.$
  7. $3i:4i=\frac{3}{4}.$
  8. $-2\cdot\left(\frac{3}{2}i\right)=-3i.$
  9. $(2i)^3=2^3\cdot i^3=8\cdot (-i)=-8i.$
  10. $i^5\cdot (-3i)^2:(2i)^7=i\cdot (-9):(-128i)=\frac{9}{128}.$

Con l'introduzione dei numeri immaginari si è resa possibile l'operazione di estrazione di radice quadrata di numeri negativi; tale operazione dà come risultato due valori immaginari opposti:

Esempi di estrazione di radice quadrata di numeri negativi

  1. $\sqrt{-4}=\sqrt{-1\cdot 4}=\sqrt{i^2\cdot 4}=\pm 2i.$
  2. $\sqrt{-7}=\pm i\sqrt{7}.$
  3. $\sqrt{-9a^4b^2}=\sqrt{i^2\cdot 9a^4b^2}=\pm 3a^2bi.$
  4. $\sqrt{-4-4a-a^2}=\sqrt{-(2+a)^2}=\sqrt{i^2(2+a)^2}=\pm (2+a)i.$
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