I numeri complessi vengono inventati dai matematici greci per far fronte a problemi irrisolvibili nell'insieme dei numeri reali. La prima domanda che questi si posero fu:
"Esiste un numero che moltiplicato per se stesso dà -1?"
In altre parole, essi si posero il problema di trovare quel numero che elevato al quadrato ritornasse -1. Questo è chiaramente assurdo nell'insieme dei numeri reali in quanto, in $\mathbb{R}$, una quantità elevata al quadrato ritorna sempre un numero maggiore o uguale a 0. Questa limitazione è data dall'impossibilità di poter estrarre la radice quadrata di un numero negativo. Infatti, se tale numero esistesse, si otterrebbe:
$$x^2=-1\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt{-1}$$
Il matematico greco Diofanto, vissuto nel II secolo d.C. si imbatté per primo in tale problema dovendo determinare i lati di un triangolo rettangolo avente perimetro 12 e area 7. Tale problema portava alla risoluzione dell'equazione
$$6x^2-43x+84=0$$
con $x$ un lato del triangolo. Nella suddetta equazione troviamo soluzioni che contengono radice quadrata di -1 (verifica tu stesso che il suo delta è negativo).
Il problema di non poter risolvere equazioni a coefficienti razionali nel campo dei numeri reali (come quella appena vista) spinse matematici come Bombelli, Tartaglia e Cardano a estendere tale insieme introducendo l'unità immaginaria $i$ di cui parleremo più approfonditamente qui. Il nuovo insieme così formato venne chiamato insieme dei numeri complessi e si denotò con il simbolo $\mathbb{C}$. L'estensione dell'insieme dei numeri reali ha così permesso di dimostrare il Teorema Fondamentale dell'algebra secondo cui qualsiasi polinomio è scomponibile nell'insieme $\mathbb{C}$: questo rappresenta un importante risultato della matematica in quanto ci assicura sempre l'esistenza di soluzione/i di equazione/i.
Qui sotto proponiamo delle lezioni specifiche in cui vedremo come graficare i numeri complessi sul piano di Argand-Gauss. In seguito definiremo le operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra numeri complessi in forma algebrica. Illustreremo le altre due forme con cui è possibile esprimere i numeri complessi, ossia quella trigonometrica ed esponenziale. Parleremo di estrazione di radici $n$-esime di un numero complesso e risolveremo equazioni con i numeri complessi.
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