Le equazioni letterali intere sono equazioni che presentano una o più lettere oltre all'incognita, ed inoltre, questa non è mai presente nei denominatori.
Esempio
L'equazione $$\frac{(a+1)x}{2a}=\frac{5a(b-3)}{6b}$$ è letterale intera.
Nella risoluzione delle equazioni letterali intere è necessario discutere per quali valori delle lettere presenti, l'equazione è determinata, indeterminata o impossibile.
Esempio
Risolviamo l'equazione letterale $$ax-3a=2x$$
Portiamo al primo membro i termini con l'incognita e al secondo membro gli altri: $$ax-2x=3a$$
Raccogliamo $x$: $$(a-2)x=3a$$
Discussione
Prima di dividere i due membri per $(a-2)$, dobbiamo porre la condizione: $$a-2\neq 0,\quad\mbox{cioè}\quad a\neq 2$$
Se questa condizione è verificata, possiamo dividere i due membri per $a-2$. In tal caso l'equazione è determinata e la soluzione è $$x=\frac{3a}{a-2}$$
La soluzione dell'equazione è una funzione di $a$: se $a=5$ la soluzione è $x=5$, se $a=3$ la soluzione è $x=9$, e così via.
Se invece $a=2$, sostituiamo 2 ad $a$ nell'equazione $(a-2)x=3a$ e troviamo: $$0x=3\cdot 2,\quad\mbox{cioè}\quad 0x=6$$
Per $a=2$ l'equazione è impossibile.
In sintesi
- se $a\neq 2$, l'equazione è determinata e la soluzione è $$x=\frac{3a}{a-2}$$
- se $a=2$, l'equazione è impossibile
Come risolvere disuguaglianze con il segno $\neq$
Per discutere le equazioni letterali è spesso necessario risolvere delle disuguaglianze (vai qui per approfondimento).
Consideriamo per esempio la disuguaglianza $$2a+3\neq 0$$
Procediamo dunque come per la risoluzione dell'equazione, applicando i principi di equivalenza e le regole che ne derivano:
Per la regola del trasporto $$2a\neq -3$$
Per secondo principio di equivalenza $$\frac{2a}{2}\neq -\frac{3}{2},\quad\mbox{cioè}\quad a\neq -\frac{3}{2}$$