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ARGOMENTO: APPLICAZIONE TEOREMA DI EUCLIDE E PITAGORA

APPLICAZIONE TEOREMA DI EUCLIDE E PITAGORA #6

  • valen
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ABC è un triangolo rettangolo in A. AH è l'altezza relativa all'ipotenusa. D è un punto su AC tale che CD=HB. Dimostra che la somma dei quadrati costruiti su AD e CD è equivalente alla differenza tra il quadrato costruito su BD e il rettangolo di lati CD e CH.
GRAZIE MILLE.
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APPLICAZIONE TEOREMA DI EUCLIDE E PITAGORA #8

  • Samuel
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Ciao valen, e benvenuta nel nostro forum.
Per prima cosa è importante saper disegnare ciò che il testo dice (figura qui sotto)

Sapendo che $CD=HB$, dobbiamo dimostrare che

$AD^2+CD^2=BD^2-CD\cdot CH$

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $ADB$ si ha che:

$BD^2=AD^2+AB^2$

Applicando il 1° teorema di Euclide al triangolo rettangolo $ABC$ si ha che:

$AB^2=HB\cdot BC$

dove $BC$ è l'ipotenusa e $HB$ è la proiezione del cateto $AB$ sull'ipotenusa $BC$.
Osservando che $HB=CD$ e $BC=CH+HB=CH+CD$, possiamo riscrivere l'ultima espressione nel seguente modo:

$AB^2=CD(CH+CD)\ \Rightarrow\ \ AB^2=CD\cdot CH+CD^2$

Sostituendo $AB$ in $BD^2=AD^2+AB^2$ otteniamo quanto richiesto:

$BD^2=AD^2+CD\cdot CH+CD^2$

da cui

$BD^2-CD\cdot CH=AD^2+CD^2$

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Ringraziano per il messaggio: valen